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Löwenheim–Skolem theorem
수리논리학에서 뢰벤하임-스콜렘 정리는 일차 이론이 무한 모형의 농도를 통제할 수 없다는 내용의 정리이다.
1. 진술 ✎ ⊖
뢰벤하임과 스콜렘이 1915년에 처음 증명한 명제는 다음과 같다.
이를 좀 더 일반화시킨 명제는 다음과 같다.
타르스키는 이의 '반대의 경우', 즉 가산 모형으로부터 비가산 모형의 존재성이 이끌어 질 수 있음을 보였다.
- \\Gamma가 가산 언어 상의 충족가능한 논리식들의 집합이면 \\Gamma는 어떤 가산 구조 위에서 충족 가능하다.
- \\Sigma가 가산 언어 상의 문장들의 집합이라 하자. 만약 \\Sigma가 모형을 갖는다면 \\Sigma는 가산 모형을 갖는다.
이를 좀 더 일반화시킨 명제는 다음과 같다.
- \\Gamma가 농도 \\lambda인 언어 상의 충족가능한 논리식들의 집합이면 \\Gamma는 농도가 \\le\\lambda인 어떤 구조 위에서 충족 가능하다.
- \\Sigma가 농도 \\lambda인 언어 상의 문장들의 집합이라 하자. 만약 \\Sigma가 모형을 갖는다면 \\Sigma는 농도가 \\le\\lambda인 모형을 갖는다.
타르스키는 이의 '반대의 경우', 즉 가산 모형으로부터 비가산 모형의 존재성이 이끌어 질 수 있음을 보였다.
- \\Gamma가 \\lambda인 언어 상의 논리식들의 집합이고 \\Gamma가 어떤 무한 구조 상에서 충족된다면 임의의 \\kappa\\ge\\lambda인 \\kappa에 대해 \\Gamma가 충족가능한 농도 \\kappa인 구조가 존재한다.
2. 참고 문헌 ✎ ⊖
- Herbert B. Enderton (2001), A Mathematical Introduction to Logic 2nd, Harcourt/Academic Press.
