뫼비우스 뮤 함수 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
Mobius μ-function, [math(\mu(n))]

중요한 수론적 함수 중 하나이며, [math(n)]의 소인수분해 결과에 따라 그 값이 결정된다.

== 정의 ==
자연수 [math(n)]에 대해 [math(\mu(n))]은 다음과 같이 정의된다.

<math>\mu (n) := \begin{cases}1 & \text{if}\ n=1 \\ (-1)^k & \text{if}\ 1<n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i}\text{ and } e_i=1 \text{ for all }i\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}</math>

== 성질 ==
=== 약수들에 대한 함숫값의 합 ===
[math(\sum_{d \mid n}\mu(d) = \left[\frac{1}{n}\right]=\begin{cases}1 & \text{if}\ n=1 \\ 0 & \text{if}\ n>1\end{cases})]

여기서 [math(\mu=u^{-1})]을 얻을 수 있다. 여기서 [math(u)]는 [math(u(n)=1)]인 단위함수이며, [math({}^{-1})]은 디레클레 곱의 역원을 말한다.

==== 증명 ====
[math(n=1)]일 때는 자명. [math(n \geq 2)]일 때 [math(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i})]로 소인수분해하면 [math(d)]가 어떤 소수의 제곱으로 나누어 떨어질 때 [math(\mu(d)=0)]이므로

<math>\sum_{d \mid n}\mu(d)=\mu(1)+\sum_{p_1 \mid n} \mu(p_1)+\sum_{p_1 \mid n,\ p_2 \mid n,\ p_1 \neq p_2} \mu(p_1p_2)+ \cdots\\=1+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+ \cdots +\binom{k}{k}(-1)^k=(1-1)^k=0</math>

=== [[뫼비우스 반전 공식]] ===
수론적 함수 [math(f,g)]에 대하여

[math(f(n)=\sum_{d|n}g(d) \Rightarrow g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}))]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

(임시 저장) (임시 저장 불러오기)

(↪️) (💎) (🛠️) (추가)