무리수 (편집) - 시드위키

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Irrational Number

[[유리수]]가 아닌 실수를 말한다.

== 정의 ==
무리수는 [[유리수]]가 아닌 실수이다. [[유리수]]는 적당한 정수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(\frac{a}{b})]꼴로 표현되는 수를 말하므로, 실수 [math(x)]가 무리수라는 것은 임의의 정수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 [math(x \not = \frac{a}{b})]이라는 것을 말한다.

일반적으로 실수의 집합은 [math(\mathbb{R})], [[유리수]]의 집합은 [math(\mathbb{Q})], 무리수의 집합은 [math(\mathbb{I})]로 쓴다. 그러면 다음이 성립한다.

[math(\mathbb{I}=\mathbb{R}-\mathbb{Q})]

== 성질 ==
무리수에는 대수적 수와 초월수가 있다. 대수적 수는 정수 계수 다항식의 근이 될 수 있는 수를 말하며, 초월수는 그렇지 않은 수를 말한다. 무리수와 유리수의 합은 무리수이고, 무리수와 0이 아닌 유리수의 곱은 무리수이다.

무리수 집합은 실수집합과 같은 농도를 갖는다. 또한 알레프-0의 농도를 갖는 유리수 집합보다 더 큰 농도를 갖는다.

== 증명 ==
어떤 수가 무리수임은 일반적으로 귀류법을 사용하여 증명한다.

=== [math(\sqrt{2})]의 무리수성 증명 ===
[math(\sqrt{2})][* 일반적으로 자연수의 제곱근은 [[정수]]이거나 무리수이다.]가 유리수라면 서로소인 적당한 정수 [math(a)], [math(b)]에 대해 [math(\sqrt{2}=\frac{a}{b})]가 성립한다.

이제 [math(b)]를 이항하고 제곱하면 [math(2 b ^ 2 = a ^ 2)]가 된다. [math(a)]가 홀수라면 [math(a ^ 2)]도 홀수이므로 [math(a)]는 짝수이다. [math(a)]가 짝수이므로 적당한 정수 [math(a')]에 대해서 [math(a = 2 a')]이고, 대입하고 정리하면 [math(b^2=2a'^2)]가 된다.

[math(b)]가 홀수라면 [math(b ^ 2)]도 홀수이므로 [math(b)]는 짝수이다. 그런데 이는 [math(a)], [math(b)]가 서로소임에 모순이다.

여기에서 [math(\sqrt{2})]가 유리수가 아님을 얻을 수 있다. 그러나 이 수는 실수이므로 [math(\sqrt{2})]는 무리수이다. ■

== 영상 ==
[youtube(go5tMjW7Jog)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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