무리수

Irrational Number

유리수가 아닌 실수를 말한다.

목차

1. 정의
2. 성질
3. 증명
3.1. \sqrt{2}의 무리수성 증명
4. 영상

1. 정의 _{✎ ⊖}

무리수는 유리수가 아닌 실수이다. 유리수는 적당한 정수 a, b에 대하여 \\frac{a}{b}꼴로 표현되는 수를 말하므로, 실수 x가 무리수라는 것은 임의의 정수 a, b에 대하여 x \\not = \\frac{a}{b}이라는 것을 말한다.

일반적으로 실수의 집합은 \\mathbb{R}, 유리수의 집합은 \\mathbb{Q}, 무리수의 집합은 \\mathbb{I}로 쓴다. 그러면 다음이 성립한다.

\\mathbb{I}=\\mathbb{R}-\\mathbb{Q}

2. 성질 _{✎ ⊖}

무리수에는 대수적 수와 초월수가 있다. 대수적 수는 정수 계수 다항식의 근이 될 수 있는 수를 말하며, 초월수는 그렇지 않은 수를 말한다. 무리수와 유리수의 합은 무리수이고, 무리수와 0이 아닌 유리수의 곱은 무리수이다.

무리수 집합은 실수집합과 같은 농도를 갖는다. 또한 알레프-0의 농도를 갖는 유리수 집합보다 더 큰 농도를 갖는다.

3. 증명 _{✎ ⊖}

어떤 수가 무리수임은 일반적으로 귀류법을 사용하여 증명한다.

3.1. \\sqrt{2}의 무리수성 증명 _{✎ ⊖}

\\sqrt{2}⁽¹⁾가 유리수라면 서로소인 적당한 정수 a, b에 대해 \\sqrt{2}=\\frac{a}{b}가 성립한다.

이제 b를 이항하고 제곱하면 2 b ^ 2 = a ^ 2가 된다. a가 홀수라면 a ^ 2도 홀수이므로 a는 짝수이다. a가 짝수이므로 적당한 정수 a'에 대해서 a = 2 a'이고, 대입하고 정리하면 b^2=2a'^2가 된다.

b가 홀수라면 b ^ 2도 홀수이므로 b는 짝수이다. 그런데 이는 a, b가 서로소임에 모순이다.

여기에서 \\sqrt{2}가 유리수가 아님을 얻을 수 있다. 그러나 이 수는 실수이므로 \\sqrt{2}는 무리수이다. ■

4. 영상 _{✎ ⊖}

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0에 따라 이용할 수 있습니다.

(1) 일반적으로 자연수의 제곱근은 정수이거나 무리수이다.

1. 정의 ✎ ⊖

2. 성질 ✎ ⊖

3. 증명 ✎ ⊖

3.1. \\sqrt{2}의 무리수성 증명 ✎ ⊖

4. 영상 ✎ ⊖

1. 정의 _{✎ ⊖}

2. 성질 _{✎ ⊖}

3. 증명 _{✎ ⊖}

3.1. \\sqrt{2}의 무리수성 증명 _{✎ ⊖}

4. 영상 _{✎ ⊖}