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무리수
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667,1215
=== [math(\sqrt{2})]의 무리수성 증명 === [math(\sqrt{2})][* 일반적으로 자연수의 제곱근은 [[정수]]이거나 무리수이다.]가 유리수라면 서로소인 적당한 정수 [math(a)], [math(b)]에 대해 [math(\sqrt{2}=\frac{a}{b})]가 성립한다. 이제 [math(b)]를 이항하고 제곱하면 [math(2 b ^ 2 = a ^ 2)]가 된다. [math(a)]가 홀수라면 [math(a ^ 2)]도 홀수이므로 [math(a)]는 짝수이다. [math(a)]가 짝수이므로 적당한 정수 [math(a')]에 대해서 [math(a = 2 a')]이고, 대입하고 정리하면 [math(b^2=2a'^2)]가 된다. [math(b)]가 홀수라면 [math(b ^ 2)]도 홀수이므로 [math(b)]는 짝수이다. 그런데 이는 [math(a)], [math(b)]가 서로소임에 모순이다. 여기에서 [math(\sqrt{2})]가 유리수가 아님을 얻을 수 있다. 그러나 이 수는 실수이므로 [math(\sqrt{2})]는 무리수이다. ■
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=== [math(\sqrt{2})]의 무리수성 증명 === [math(\sqrt{2})][* 일반적으로 자연수의 제곱근은 [[정수]]이거나 무리수이다.]가 유리수라면 서로소인 적당한 정수 [math(a)], [math(b)]에 대해 [math(\sqrt{2}=\frac{a}{b})]가 성립한다. 이제 [math(b)]를 이항하고 제곱하면 [math(2 b ^ 2 = a ^ 2)]가 된다. [math(a)]가 홀수라면 [math(a ^ 2)]도 홀수이므로 [math(a)]는 짝수이다. [math(a)]가 짝수이므로 적당한 정수 [math(a')]에 대해서 [math(a = 2 a')]이고, 대입하고 정리하면 [math(b^2=2a'^2)]가 된다. [math(b)]가 홀수라면 [math(b ^ 2)]도 홀수이므로 [math(b)]는 짝수이다. 그런데 이는 [math(a)], [math(b)]가 서로소임에 모순이다. 여기에서 [math(\sqrt{2})]가 유리수가 아님을 얻을 수 있다. 그러나 이 수는 실수이므로 [math(\sqrt{2})]는 무리수이다. ■
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