무한 퍼텐셜 우물 (편집)

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양자역학에서, 무한 퍼텐셜 우물(Infinite Potential Well) 모형은 통과할 수 없는 장벽 내부에서 입자가 어떻게 운동하는지 기술한다.

== 1차원 계 ==
=== 상자 우물 ===
상자 모형에서 가장 간단한 형태는 1차원 계이며, 이 계에서 입자는 앞이나 뒤로만 움직인다. 일차원 상자의 내부의 퍼텐셜은 0이지만 외부의 벽의 퍼텐셜은 [math(\infty)]인데, 이것은 입자가 상자 내부에서 자유롭게 움직일 수 있다는 것을 뜻하지만, 상자 밖으로는 절대 나갈 수 없음을 의미한다. 일차원 상자의 퍼텐셜은

<math>V(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&0\le x \le a\\\infty,& \text{otherwise} \end{array}\right.</math>

으로 나타난다.

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

로 주어지는데, [math(0\le x \le a)]일 때 [math(V(x)=0)]이므로

를 얻고, 이 미분방정식의 해는

이다. 이때, [math(\displaystyle k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar})]이고 [math(A,B\in\mathbb{C})]이다. [math(\psi(0)=\psi(a)=0)]이어야 하므로 [math(B=0)]이고, [math(\sin(ka)=0)], 즉 임의의 자연수 [math(n)]에 대해 [math(k_n a = n\pi)], [math(\displaystyle k_n=\frac{n\pi}{a})]이다. 따라서

<math>\psi(x)=A\sin \left(\frac{n\pi}{a}x\right)</math>

를 얻는다. 한편, [math(\psi(x))]는 정규화되어야 하므로,

<math>1=\int_0^a |A|^2 \sin^2\left(\frac{n\pi}{a}x\right)dx=|A|^2\int_0^a \frac{1-\cos\left(\frac{2n\pi}{a}x\right)}{2}dx=|A|^2\frac{a}{2}</math>

여기서 <math>A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}</math>를 고른다. 또한, <math>E_n=\frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{n^2\hbar^2\pi^2}{2ma^2}</math>를 얻는다. 따라서 [math(\psi_{n}(x), \varphi_{n}(t))]은

<math>\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)</math>

<math>\varphi_{n}(t)=\exp\left(\frac{-iE_n}{\hbar}t\right)=\exp\left(-i\frac{n^2\pi^2\hbar}{2ma^2}t\right)</math>

이고, 일반화하면

<math>\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \psi_{n}(x)\varphi_{n}(t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\exp\left(-i\frac{n^2\pi^2\hbar}{2ma^2}t\right)</math>

<math> c_n=\int_0^a \psi_n^*(x) \Psi(x,0)dx=\int_0^a \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\Psi(x,0)dx</math>

이다.

정상상태에서 <math>\left<x\right>, \left<x^2\right>, \left<p\right>, \left<p^2\right></math>를 구해보자.

<math> \left<x\right>=\int_0^a \Psi^* x \Psi dx = \int_0^a x|\Psi|^2 dx =\frac{2}{a}\int_0^a x\sin^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx=\frac{a}{2}</math>

<math> \left<x^2\right>=\int_0^a\Psi^* x^2 \Psi dx=\frac{2}{a}\int_0^a x^2\sin^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx=a^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\right)</math>

<math> \left<p\right>=\int_0^a\Psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right) \Psi dx=0</math>

<math> \left<p^2\right>=\int_0^a\Psi^* \left(\frac{\hbar^2}{-1}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right) \Psi dx=\left(\frac{n\hbar \pi}{a}\right)^2</math>

따라서 위치와 운동량의 불확정성은

<math>\sigma_x=\sqrt{\left<x^2\right>-\left<x\right>^2}=a\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}}</math>

<math>\sigma_p=\sqrt{\left<p^2\right>-\left<p\right>^2}=\frac{n\hbar \pi}{a}</math>

이므로

<math>\sigma_x\sigma_p=a\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}}\cdot\frac{n\hbar \pi}{a}=\frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}\ge\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{\pi^2}{3}-2}\approx 0.568\hbar</math>

이다. 따라서 불확정성 원리가 반증되지 않음을 안다.

=== 환형 우물 ===
일차원 환형 퍼텐셜

<math>V(r) =\begin{cases}0,& \text{if } r=R,\\\infty, & \text{otherwise.}\end{cases}</math>

에 따라 움직이는 입자를 생각하자. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

<math>-\frac{\hbar^2}{2mR^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}=E\psi</math>

[math(w=\sqrt{\dfrac{2mR^2E}{\hbar^2}})]로 두면, 슈뢰딩거 방정식은

<math>\frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}=-w^2\psi</math>

이고, 따라서

로 둘 수 있다. [math(\psi(\phi))]는 주기 [math(2\pi)]인 주기함수이므로, [math(1=2w\pi i)]이다. 따라서 [math(w)]는 정수임을 안다. 따라서 에너지 준위는

<math>E_n=\left(\frac{\hbar^2}{2mR^2}\right)n^2</math>

이다. 한편, [math(\psi)]를 정규화하면

이므로 [math(c_1=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}})]로 둘 수 있다. 따라서

를 얻는다.

== 3차원 계 ==
=== 구면 우물 ===
무한 구면 우물(Infinite Spherical Well)에 대한 퍼텐셜은

<math>V(r)=\left\{\begin{array}{ll}0,&\mathrm{if}\; r\le a \\ \infty,&\mathrm{if}\; r> a \end{array}\right.</math>

로 주어진다. 우물 바깥에서, 파동함수의 값은 0이다. 지름 파동 방정식을 구하면

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}=\left(\frac{l(l+1)}{r^2}-k^2\right)u</math>

이때, [math(k=\dfrac{2mE}{\hbar})]이다. [math(l=0)]일 때,

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}=-k^2u</math>

이므로 [math(u=A\cos kr + B\sin kr)] (단, [math(A,B\in\mathbb{C})])로 나타낼 수 있다. 이때 [math(u=rR(r))]이므로

[math(r\to +0)]일 때, [math(\dfrac{\cos kr}{r}\to \infty)]이므로 [math(A=0)]이다. 그리고 [math(R(a)=0)]이므로 [math(k=\dfrac{n\pi}{a})], 즉

[math(R(r))]을 정규화하면, [math(\displaystyle \int_0^r |R|^2 r^2 dr=1)]에서 [math(B=\sqrt{\dfrac{2}{a}})]를 얻고 구면조화함수 [math(Y_0^0(\theta, \phi)=\sqrt{\dfrac{1}{4\pi}})]이므로, [math(\psi_{n00}(r,\theta,\phi)=\sqrt{\dfrac{1}{2\pi a}}\dfrac{\sin(n\pi r/a)}{r})]이다.

일반적으로 주어진 지름 방정식의 해는

이다. 이때, [math(j_l(x))]는 [math(l)]차 구면 베셀함수, [math(n_l(x))]는 [math(l)]차 구면 노이만 함수이다. 그런데 [math(n_l(kr))]는 [math(r\to +0)]일 때 [math(|n_l(kr)|\to \infty)]이므로 [math(B=0)]이다. 따라서 [math(u(r)=Arj_l(kr))], 즉 [math(R(r)=Aj_l(kr))]이다.

== 외부 ==
* [[http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/embed_item_3.php?anim_id=11&file_sys=index_chem|1D / 2D Infinite Well]] (QuVis: The University of St Andrews Quantum Mechanics Visualisation project)

== 참고 문헌 ==
* Griffiths, David J. (2004). ''Introduction to Quantum Mechanics'' (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0131911759.

== 영상 ==
[youtube(q_L9y2pESgY)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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