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양자역학에서, 무한 퍼텐셜 우물(Infinite Potential Well) 모형은 통과할 수 없는 장벽 내부에서 입자가 어떻게 운동하는지 기술한다.
1. 1차원 계 ✎ ⊖
1.1. 상자 우물 ✎ ⊖
상자 모형에서 가장 간단한 형태는 1차원 계이며, 이 계에서 입자는 앞이나 뒤로만 움직인다. 일차원 상자의 내부의 퍼텐셜은 0이지만 외부의 벽의 퍼텐셜은 \\infty인데, 이것은 입자가 상자 내부에서 자유롭게 움직일 수 있다는 것을 뜻하지만, 상자 밖으로는 절대 나갈 수 없음을 의미한다. 일차원 상자의 퍼텐셜은
V(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}0,&0\\le x \\le a\\\\\\infty,& \\text{otherwise} \\end{array}\\right.
으로 나타난다.
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은
-\\frac{\\hbar^2}{2m}\\frac{d^2\\psi}{dx^2}+V\\psi=E\\psi
로 주어지는데, 0\\le x \\le a일 때 V(x)=0이므로
\\frac{d^2\\psi}{dx^2}=-\\frac{2mE}{\\hbar^2}\\psi
를 얻고, 이 미분방정식의 해는
\\psi(x)=A\\sin kx+B\\cos kx
이다. 이때, \\displaystyle k=\\frac{\\sqrt{2mE}}{\\hbar}이고 A,B\\in\\mathbb{C}이다. \\psi(0)=\\psi(a)=0이어야 하므로 B=0이고, \\sin(ka)=0, 즉 임의의 자연수 n에 대해 k_n a = n\\pi, \\displaystyle k_n=\\frac{n\\pi}{a}이다. 따라서
\\psi(x)=A\\sin \\left(\\frac{n\\pi}{a}x\\right)
를 얻는다. 한편, \\psi(x)는 정규화되어야 하므로,
1=\\int_0^a |A|^2 \\sin^2\\left(\\frac{n\\pi}{a}x\\right)dx=|A|^2\\int_0^a \\frac{1-\\cos\\left(\\frac{2n\\pi}{a}x\\right)}{2}dx=|A|^2\\frac{a}{2}
여기서 A=\\sqrt{\\dfrac{2}{a}}를 고른다. 또한, E_n=\\frac{\\hbar^2k^2}{2m}=\\frac{n^2\\hbar^2\\pi^2}{2ma^2}를 얻는다. 따라서 \\psi_{n}(x), \\varphi_{n}(t)은
\\psi_{n}(x)=\\sqrt{\\frac{2}{a}}\\sin\\left(\\frac{n\\pi}{a}x\\right)
\\varphi_{n}(t)=\\exp\\left(\\frac{-iE_n}{\\hbar}t\\right)=\\exp\\left(-i\\frac{n^2\\pi^2\\hbar}{2ma^2}t\\right)
이고, 일반화하면
\\Psi(x,t)=\\sum_{n=1}^{\\infty}c_n \\psi_{n}(x)\\varphi_{n}(t)=\\sum_{n=1}^{\\infty}c_n\\sqrt{\\frac{2}{a}}\\sin\\left(\\frac{n\\pi}{a}x\\right)\\exp\\left(-i\\frac{n^2\\pi^2\\hbar}{2ma^2}t\\right)
c_n=\\int_0^a \\psi_n^*(x) \\Psi(x,0)dx=\\int_0^a \\sqrt{\\frac{2}{a}}\\sin\\left(\\frac{n\\pi}{a}x\\right)\\Psi(x,0)dx
이다.
정상상태에서 \\left<x\\right>, \\left<x^2\\right>, \\left<p\\right>, \\left<p^2\\right>를 구해보자.
\\left<x\\right>=\\int_0^a \\Psi^* x \\Psi dx = \\int_0^a x|\\Psi|^2 dx =\\frac{2}{a}\\int_0^a x\\sin^2\\left(\\frac{n\\pi x}{a}\\right)dx=\\frac{a}{2}
\\left<x^2\\right>=\\int_0^a\\Psi^* x^2 \\Psi dx=\\frac{2}{a}\\int_0^a x^2\\sin^2\\left(\\frac{n\\pi x}{a}\\right)dx=a^2\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2n^2\\pi^2}\\right)
\\left<p\\right>=\\int_0^a\\Psi^* \\left(\\frac{\\hbar}{i}\\frac{\\partial}{\\partial x}\\right) \\Psi dx=0
\\left<p^2\\right>=\\int_0^a\\Psi^* \\left(\\frac{\\hbar^2}{-1}\\frac{\\partial^2}{\\partial x^2}\\right) \\Psi dx=\\left(\\frac{n\\hbar \\pi}{a}\\right)^2
따라서 위치와 운동량의 불확정성은
\\sigma_x=\\sqrt{\\left<x^2\\right>-\\left<x\\right>^2}=a\\sqrt{\\frac{1}{12}-\\frac{1}{2n^2\\pi^2}}
\\sigma_p=\\sqrt{\\left<p^2\\right>-\\left<p\\right>^2}=\\frac{n\\hbar \\pi}{a}
이므로
\\sigma_x\\sigma_p=a\\sqrt{\\frac{1}{12}-\\frac{1}{2n^2\\pi^2}}\\cdot\\frac{n\\hbar \\pi}{a}=\\frac{\\hbar}{2}\\sqrt{\\frac{n^2\\pi^2}{3}-2}\\ge\\frac{\\hbar}{2} \\sqrt{\\frac{\\pi^2}{3}-2}\\approx 0.568\\hbar
이다. 따라서 불확정성 원리가 반증되지 않음을 안다.
V(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}0,&0\\le x \\le a\\\\\\infty,& \\text{otherwise} \\end{array}\\right.
으로 나타난다.
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은
-\\frac{\\hbar^2}{2m}\\frac{d^2\\psi}{dx^2}+V\\psi=E\\psi
로 주어지는데, 0\\le x \\le a일 때 V(x)=0이므로
\\frac{d^2\\psi}{dx^2}=-\\frac{2mE}{\\hbar^2}\\psi
를 얻고, 이 미분방정식의 해는
\\psi(x)=A\\sin kx+B\\cos kx
이다. 이때, \\displaystyle k=\\frac{\\sqrt{2mE}}{\\hbar}이고 A,B\\in\\mathbb{C}이다. \\psi(0)=\\psi(a)=0이어야 하므로 B=0이고, \\sin(ka)=0, 즉 임의의 자연수 n에 대해 k_n a = n\\pi, \\displaystyle k_n=\\frac{n\\pi}{a}이다. 따라서
\\psi(x)=A\\sin \\left(\\frac{n\\pi}{a}x\\right)
를 얻는다. 한편, \\psi(x)는 정규화되어야 하므로,
1=\\int_0^a |A|^2 \\sin^2\\left(\\frac{n\\pi}{a}x\\right)dx=|A|^2\\int_0^a \\frac{1-\\cos\\left(\\frac{2n\\pi}{a}x\\right)}{2}dx=|A|^2\\frac{a}{2}
여기서 A=\\sqrt{\\dfrac{2}{a}}를 고른다. 또한, E_n=\\frac{\\hbar^2k^2}{2m}=\\frac{n^2\\hbar^2\\pi^2}{2ma^2}를 얻는다. 따라서 \\psi_{n}(x), \\varphi_{n}(t)은
\\psi_{n}(x)=\\sqrt{\\frac{2}{a}}\\sin\\left(\\frac{n\\pi}{a}x\\right)
\\varphi_{n}(t)=\\exp\\left(\\frac{-iE_n}{\\hbar}t\\right)=\\exp\\left(-i\\frac{n^2\\pi^2\\hbar}{2ma^2}t\\right)
이고, 일반화하면
\\Psi(x,t)=\\sum_{n=1}^{\\infty}c_n \\psi_{n}(x)\\varphi_{n}(t)=\\sum_{n=1}^{\\infty}c_n\\sqrt{\\frac{2}{a}}\\sin\\left(\\frac{n\\pi}{a}x\\right)\\exp\\left(-i\\frac{n^2\\pi^2\\hbar}{2ma^2}t\\right)
c_n=\\int_0^a \\psi_n^*(x) \\Psi(x,0)dx=\\int_0^a \\sqrt{\\frac{2}{a}}\\sin\\left(\\frac{n\\pi}{a}x\\right)\\Psi(x,0)dx
이다.
정상상태에서 \\left<x\\right>, \\left<x^2\\right>, \\left<p\\right>, \\left<p^2\\right>를 구해보자.
\\left<x\\right>=\\int_0^a \\Psi^* x \\Psi dx = \\int_0^a x|\\Psi|^2 dx =\\frac{2}{a}\\int_0^a x\\sin^2\\left(\\frac{n\\pi x}{a}\\right)dx=\\frac{a}{2}
\\left<x^2\\right>=\\int_0^a\\Psi^* x^2 \\Psi dx=\\frac{2}{a}\\int_0^a x^2\\sin^2\\left(\\frac{n\\pi x}{a}\\right)dx=a^2\\left(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{2n^2\\pi^2}\\right)
\\left<p\\right>=\\int_0^a\\Psi^* \\left(\\frac{\\hbar}{i}\\frac{\\partial}{\\partial x}\\right) \\Psi dx=0
\\left<p^2\\right>=\\int_0^a\\Psi^* \\left(\\frac{\\hbar^2}{-1}\\frac{\\partial^2}{\\partial x^2}\\right) \\Psi dx=\\left(\\frac{n\\hbar \\pi}{a}\\right)^2
따라서 위치와 운동량의 불확정성은
\\sigma_x=\\sqrt{\\left<x^2\\right>-\\left<x\\right>^2}=a\\sqrt{\\frac{1}{12}-\\frac{1}{2n^2\\pi^2}}
\\sigma_p=\\sqrt{\\left<p^2\\right>-\\left<p\\right>^2}=\\frac{n\\hbar \\pi}{a}
이므로
\\sigma_x\\sigma_p=a\\sqrt{\\frac{1}{12}-\\frac{1}{2n^2\\pi^2}}\\cdot\\frac{n\\hbar \\pi}{a}=\\frac{\\hbar}{2}\\sqrt{\\frac{n^2\\pi^2}{3}-2}\\ge\\frac{\\hbar}{2} \\sqrt{\\frac{\\pi^2}{3}-2}\\approx 0.568\\hbar
이다. 따라서 불확정성 원리가 반증되지 않음을 안다.
1.2. 환형 우물 ✎ ⊖
일차원 환형 퍼텐셜
V(r) =\\begin{cases}0,& \\text{if } r=R,\\\\\\infty, & \\text{otherwise.}\\end{cases}
에 따라 움직이는 입자를 생각하자. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
-\\frac{\\hbar^2}{2mR^2}\\frac{\\partial^2\\psi}{\\partial \\phi^2}=E\\psi
w=\\sqrt{\\dfrac{2mR^2E}{\\hbar^2}}로 두면, 슈뢰딩거 방정식은
\\frac{\\partial^2\\psi}{\\partial \\phi^2}=-w^2\\psi
이고, 따라서
\\psi(\\phi)=c_1e^{\\pm iw\\phi}
로 둘 수 있다. \\psi(\\phi)는 주기 2\\pi인 주기함수이므로, 1=2w\\pi i이다. 따라서 w는 정수임을 안다. 따라서 에너지 준위는
E_n=\\left(\\frac{\\hbar^2}{2mR^2}\\right)n^2
이다. 한편, \\psi를 정규화하면
1=|c_1|^2\\int_0^{2\\pi} e^{iw\\phi}e^{-iw\\phi} d\\phi = |c_1|^2 2\\pi
이므로 c_1=\\dfrac{1}{\\sqrt{2\\pi}}로 둘 수 있다. 따라서
\\psi(\\phi)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}}e^{\\pm in\\phi}
를 얻는다.
V(r) =\\begin{cases}0,& \\text{if } r=R,\\\\\\infty, & \\text{otherwise.}\\end{cases}
에 따라 움직이는 입자를 생각하자. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
-\\frac{\\hbar^2}{2mR^2}\\frac{\\partial^2\\psi}{\\partial \\phi^2}=E\\psi
w=\\sqrt{\\dfrac{2mR^2E}{\\hbar^2}}로 두면, 슈뢰딩거 방정식은
\\frac{\\partial^2\\psi}{\\partial \\phi^2}=-w^2\\psi
이고, 따라서
\\psi(\\phi)=c_1e^{\\pm iw\\phi}
로 둘 수 있다. \\psi(\\phi)는 주기 2\\pi인 주기함수이므로, 1=2w\\pi i이다. 따라서 w는 정수임을 안다. 따라서 에너지 준위는
E_n=\\left(\\frac{\\hbar^2}{2mR^2}\\right)n^2
이다. 한편, \\psi를 정규화하면
1=|c_1|^2\\int_0^{2\\pi} e^{iw\\phi}e^{-iw\\phi} d\\phi = |c_1|^2 2\\pi
이므로 c_1=\\dfrac{1}{\\sqrt{2\\pi}}로 둘 수 있다. 따라서
\\psi(\\phi)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}}e^{\\pm in\\phi}
를 얻는다.
2. 3차원 계 ✎ ⊖
2.1. 구면 우물 ✎ ⊖
무한 구면 우물(Infinite Spherical Well)에 대한 퍼텐셜은
V(r)=\\left\\{\\begin{array}{ll}0,&\\mathrm{if}\\; r\\le a \\\\ \\infty,&\\mathrm{if}\\; r> a \\end{array}\\right.
로 주어진다. 우물 바깥에서, 파동함수의 값은 0이다. 지름 파동 방정식을 구하면
\\frac{\\partial^2 u}{\\partial r^2}=\\left(\\frac{l(l+1)}{r^2}-k^2\\right)u
이때, k=\\dfrac{2mE}{\\hbar}이다. l=0일 때,
\\frac{\\partial^2 u}{\\partial r^2}=-k^2u
이므로 u=A\\cos kr + B\\sin kr (단, A,B\\in\\mathbb{C})로 나타낼 수 있다. 이때 u=rR(r)이므로
R(r)=A\\frac{\\cos kr}{r} + B\\frac{\\sin kr}{r}
r\\to +0일 때, \\dfrac{\\cos kr}{r}\\to \\infty이므로 A=0이다. 그리고 R(a)=0이므로 k=\\dfrac{n\\pi}{a}, 즉
R(r)=B\\frac{\\sin (n\\pi r/a)}{r}
R(r)을 정규화하면, \\displaystyle \\int_0^r |R|^2 r^2 dr=1에서 B=\\sqrt{\\dfrac{2}{a}}를 얻고 구면조화함수 Y_0^0(\\theta, \\phi)=\\sqrt{\\dfrac{1}{4\\pi}}이므로, \\psi_{n00}(r,\\theta,\\phi)=\\sqrt{\\dfrac{1}{2\\pi a}}\\dfrac{\\sin(n\\pi r/a)}{r}이다.
일반적으로 주어진 지름 방정식의 해는
u(r)=Arj_l(kr)+Brn_l(kr)
이다. 이때, j_l(x)는 l차 구면 베셀함수, n_l(x)는 l차 구면 노이만 함수이다. 그런데 n_l(kr)는 r\\to +0일 때 |n_l(kr)|\\to \\infty이므로 B=0이다. 따라서 u(r)=Arj_l(kr), 즉 R(r)=Aj_l(kr)이다.
V(r)=\\left\\{\\begin{array}{ll}0,&\\mathrm{if}\\; r\\le a \\\\ \\infty,&\\mathrm{if}\\; r> a \\end{array}\\right.
로 주어진다. 우물 바깥에서, 파동함수의 값은 0이다. 지름 파동 방정식을 구하면
\\frac{\\partial^2 u}{\\partial r^2}=\\left(\\frac{l(l+1)}{r^2}-k^2\\right)u
이때, k=\\dfrac{2mE}{\\hbar}이다. l=0일 때,
\\frac{\\partial^2 u}{\\partial r^2}=-k^2u
이므로 u=A\\cos kr + B\\sin kr (단, A,B\\in\\mathbb{C})로 나타낼 수 있다. 이때 u=rR(r)이므로
R(r)=A\\frac{\\cos kr}{r} + B\\frac{\\sin kr}{r}
r\\to +0일 때, \\dfrac{\\cos kr}{r}\\to \\infty이므로 A=0이다. 그리고 R(a)=0이므로 k=\\dfrac{n\\pi}{a}, 즉
R(r)=B\\frac{\\sin (n\\pi r/a)}{r}
R(r)을 정규화하면, \\displaystyle \\int_0^r |R|^2 r^2 dr=1에서 B=\\sqrt{\\dfrac{2}{a}}를 얻고 구면조화함수 Y_0^0(\\theta, \\phi)=\\sqrt{\\dfrac{1}{4\\pi}}이므로, \\psi_{n00}(r,\\theta,\\phi)=\\sqrt{\\dfrac{1}{2\\pi a}}\\dfrac{\\sin(n\\pi r/a)}{r}이다.
일반적으로 주어진 지름 방정식의 해는
u(r)=Arj_l(kr)+Brn_l(kr)
이다. 이때, j_l(x)는 l차 구면 베셀함수, n_l(x)는 l차 구면 노이만 함수이다. 그런데 n_l(kr)는 r\\to +0일 때 |n_l(kr)|\\to \\infty이므로 B=0이다. 따라서 u(r)=Arj_l(kr), 즉 R(r)=Aj_l(kr)이다.
3. 외부 ✎ ⊖
- 1D / 2D Infinite Well (QuVis: The University of St Andrews Quantum Mechanics Visualisation project)
4. 참고 문헌 ✎ ⊖
- Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0131911759.
