무한 퍼텐셜 우물 (편집) (5)

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=== 구면 우물 ===
무한 구면 우물(Infinite Spherical Well)에 대한 퍼텐셜은

<math>V(r)=\left\{\begin{array}{ll}0,&\mathrm{if}\; r\le a \\ \infty,&\mathrm{if}\; r> a \end{array}\right.</math>

로 주어진다. 우물 바깥에서, 파동함수의 값은 0이다. 지름 파동 방정식을 구하면

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}=\left(\frac{l(l+1)}{r^2}-k^2\right)u</math>

이때, [math(k=\dfrac{2mE}{\hbar})]이다. [math(l=0)]일 때,

<math>\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}=-k^2u</math>

이므로 [math(u=A\cos kr + B\sin kr)] (단, [math(A,B\in\mathbb{C})])로 나타낼 수 있다. 이때 [math(u=rR(r))]이므로

[math(r\to +0)]일 때, [math(\dfrac{\cos kr}{r}\to \infty)]이므로 [math(A=0)]이다. 그리고 [math(R(a)=0)]이므로 [math(k=\dfrac{n\pi}{a})], 즉

[math(R(r))]을 정규화하면, [math(\displaystyle \int_0^r |R|^2 r^2 dr=1)]에서 [math(B=\sqrt{\dfrac{2}{a}})]를 얻고 구면조화함수 [math(Y_0^0(\theta, \phi)=\sqrt{\dfrac{1}{4\pi}})]이므로, [math(\psi_{n00}(r,\theta,\phi)=\sqrt{\dfrac{1}{2\pi a}}\dfrac{\sin(n\pi r/a)}{r})]이다.

일반적으로 주어진 지름 방정식의 해는

이다. 이때, [math(j_l(x))]는 [math(l)]차 구면 베셀함수, [math(n_l(x))]는 [math(l)]차 구면 노이만 함수이다. 그런데 [math(n_l(kr))]는 [math(r\to +0)]일 때 [math(|n_l(kr)|\to \infty)]이므로 [math(B=0)]이다. 따라서 [math(u(r)=Arj_l(kr))], 즉 [math(R(r)=Aj_l(kr))]이다.

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