방데르몽드 행렬 (편집)

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Vandermonde matrix

1열의 성분이 모두 1이고, 각 행의 성분이 등비수열을 구성하는 행렬이다.

== 정의 ==
체 [math(F)]와 [math(\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_m \in F)]에 대해, [math(m \times n)] 방데르몽드 행렬 [math(V)]는 다음 꼴로 나타나는 행렬이다.

[math(\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \cdots & \alpha_m^{n-1} \end{bmatrix})]

[math(V)]의 전치행렬을 방데르몽드 행렬로 정의하기도 한다.

== 성질 ==
* 방데르몽드 행렬 [math(V)]가 [math(n)]차 정사각행렬이면,
* <math>\det V=\prod_{1\le j < i \le n} (\alpha_i - \alpha_j)</math>

이다. 이때, [math(\det V)]를 [[방데르몽드 행렬식]]이라 하며, [math(V)]가 가역일 필요충분조건은 임의의 서로 다른 [math(i,j\in \{1,2,\cdots,n\})]에 대해 [math(\alpha_i \ne \alpha_j)]인 것이다.

* [math(V)]가 가역일 때, [math(V)]의 역행렬을 [math(V^{-1}=[\beta_{ij}])]라 하면, 다음 식이 성립한다.
* <math>\beta_{ij}=(-1)^{i-1}\frac {S_{n-i}(\alpha_1, \cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n)}{\prod_{k\ne j}(\alpha_k-\alpha_j)}</math>
이때, [math(S_{n-i})]는 기본대칭함수이다.

'''증명.''' [math(V)]와 그 역행렬의 곱이 항등행렬이므로, 다음 식이 성립한다.

<math>\sum_{k=1}^n \alpha_i^{k-1} \beta_{kj}=\delta_{ij}</math>

이때, [math(\delta_{ij})]는 크로네커 델타이다. 다항식 [math(P_j(x))]를

로 정의하면 [math(\displaystyle P_j(\alpha_i)=\sum_{k=1}\beta_{kj}\alpha_i^{k-1}=\delta_{ij})]이다. 라그랑주 보간법에 의해,

<math>\begin{aligned}P_j(x)&=\sum_{i=1}^n \delta_{ij}L_i(x)\\&=L_j(x)\\&=\prod_{\substack{1\le k \le n\\ k\ne j}}\frac{x-\alpha_k}{\alpha_j-\alpha_k}\end{aligned}</math>

이다. 이때 [math(L_j(x))]는 라그랑주 기저 다항식이다. 계수비교를 통해

<math>\begin{aligned}\beta_{kj}&=\frac{\displaystyle\sum_{1\le i_1 < \cdots < i_{n-k} \le n}\prod_{j=1}^{n-k}(-\alpha_{i_j})}{\displaystyle\prod_{\substack{1\le m \le n \\ k\ne j}}(\alpha_j-\alpha_m)}\\ &=\frac{\displaystyle (-1)^{n-k}\sum_{1\le i_1 < \cdots < i_{n-k} \le n}\prod_{j=1}^{n-k}\alpha_{i_j}}{\displaystyle (-1)^{n-1}\prod_{\substack{1\le m \le n \\ m\ne j}}(\alpha_m-\alpha_j)} \\&= \frac{\displaystyle (-1)^{k-1}S_{n-k}(\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n)}{\displaystyle \prod_{\substack{1\le m \le n \\ k\ne j}}(\alpha_m-\alpha_j)} \end{aligned}</math>

임을 안다. [math(k)]를 [math(i)]로 바꾸면 원하는 결과를 얻는다.

== 외부 ==
* [[https://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Vandermonde%27s_Matrix|Vandermonde's Matrix (Proofwiki)]]

== 참고 문헌 ==
* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

== 영상 ==
[youtube(QZw3ghol1DE)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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