Vandermonde matrix
1열의 성분이 모두 1이고, 각 행의 성분이 등비수열을 구성하는 행렬이다.
체
F와
α1,α2,⋯,αm∈F에 대해,
m×n 방데르몽드 행렬
V는 다음 꼴로 나타나는 행렬이다.
11⋮1α1α2⋮αmα12α22⋮αm2⋯⋯⋱⋯α1n−1α2n−1⋮αmn−1V의 전치행렬을 방데르몽드 행렬로 정의하기도 한다.
- 방데르몽드 행렬 V가 n차 정사각행렬이면,
- detV=∏1≤j<i≤n(αi−αj)
이다. 이때,
detV를
방데르몽드 행렬식이라 하며,
V가 가역일 필요충분조건은 임의의 서로 다른
i,j∈{1,2,⋯,n}에 대해
αi=αj인 것이다.
- V가 가역일 때, V의 역행렬을 V−1=[βij]라 하면, 다음 식이 성립한다.
- βij=(−1)i−1∏k=j(αk−αj)Sn−i(α1,⋯,αj−1,αj+1,⋯,αn)
이때,
Sn−i는 기본대칭함수이다.
증명. V와 그 역행렬의 곱이 항등행렬이므로, 다음 식이 성립한다.
∑k=1nαik−1βkj=δij이때,
δij는 크로네커 델타이다. 다항식
Pj(x)를
Pj(x)=∑k=1nβkjxk−1로 정의하면
Pj(αi)=k=1∑βkjαik−1=δij이다. 라그랑주 보간법에 의해,
Pj(x)=i=1∑nδijLi(x)=Lj(x)=1≤k≤nk=j∏αj−αkx−αk이다. 이때
Lj(x)는 라그랑주 기저 다항식이다. 계수비교를 통해
βkj=1≤m≤nk=j∏(αj−αm)1≤i1<⋯<in−k≤n∑j=1∏n−k(−αij)=(−1)n−11≤m≤nm=j∏(αm−αj)(−1)n−k1≤i1<⋯<in−k≤n∑j=1∏n−kαij=1≤m≤nk=j∏(αm−αj)(−1)k−1Sn−k(α1,⋯,αj−1,αj+1,⋯,αn)임을 안다.
k를
i로 바꾸면 원하는 결과를 얻는다.
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6