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방데르몽드 행렬식

최근 수정 시각 : 2023-05-06 21:22:25 | 조회수 : 51
방데르몽드 행렬식(Vandermonde determinant) 또는 방데르몽드 다항식(Vandermonde polynomial)은 정사각행렬인 방데르몽드 행렬의 행렬식이다.

목차

1. 계산
1.1. 증명
2. 외부
3. 영상

1. 계산 ✎ ⊖

n×nn\times n 방데르몽드 행렬

Vn=[1α1α12⋯α1n−11α2α22⋯α2n−1⋮⋮⋮⋱⋮1αnαn2⋯αnn−1]V_n=\begin {bmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}\end {bmatrix}

에 대해

det⁡(Vn)=∏1≤j<i≤n(αi−αj)\det(V_n)=\prod_{1\le j < i \le n}(\alpha_i-\alpha_j)
이다.

1.1. 증명 ✎ ⊖

VnV_n의 행렬식

det⁡(Vn)=∣1α1α12⋯α1n−11α2α22⋯α2n−1⋮⋮⋮⋱⋮1αnαn2⋯αnn−1∣\det(V_n)=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}\end{vmatrix}

의 2,3,…,n2,3,\dots,n행에서 11행을 빼는 기본행연산을 수행하면,

det⁡(Vn)=∣1α1α12⋯α1n−10α2−α1α22−α12⋯α2n−1−α1n−1⋮⋮⋮⋱⋮0αn−α1αn2−α12⋯αnn−1−α1n−1∣\det(V_n)=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\0 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2^2 -\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1}-\alpha_1^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n^2-\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}-\alpha_1^{n-1}\end{vmatrix}

을 얻는다. j∈{1,2,…,n−1}j\in\{1,2,\dots,n-1\}에 대해, (j+1)(j+1)열에서 jj항의 α1\alpha_1배를 빼는 기본열연산을 내림차순으로 수행하면,

det⁡(Vn)=∣100⋯00α2−α1α2(α2−α1)⋯α2n−2(α2−α1)⋮⋮⋮⋱⋮0αn−α1αn(αn−α1)⋯αnn−2(αn−α1)∣=∏i=2n(αi−α1)∣1α2⋯α2n−21α3⋯α3n−2⋮⋮⋱⋮1αn⋯αnn−2∣\begin{aligned}\det(V_n)&=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \cdots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1) \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \cdots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\end{vmatrix}\\ &=\prod_{i=2}^n (\alpha_i -\alpha_1) \begin{vmatrix} 1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_2^{n-2} \\ 1 & \alpha_3 & \cdots &\alpha_3^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \alpha_n & \cdots & \alpha_n^{n-2} \end{vmatrix}\end{aligned}

위의 계산과정을 반복하면,

det⁡(Vn)=∏k=1n−1(∏i=k+1n(αi−αk))=∏1≤j<i≤n(αi−αj)\det(V_n)= \prod_{k=1}^{n-1}\left(\prod_{i=k+1}^n (\alpha_i-\alpha_k)\right) =\prod_{1\le j < i \le n}(\alpha_i-\alpha_j)
을 얻는다.

2. 외부 ✎ ⊖

3. 영상 ✎ ⊖



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