베이유 가설 (편집)

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Weil conjectures

유한체의 다양성에 대한 정리로서 후에 대수기하학과 정수론의 발전에 큰 영향을 미쳤다. 이는 가설이라는 이름이 붙어 있지만 사실은 이미 증명된 정리다. 그 이유 때문에 이는 이것을 증명한 Deligne의 이름을 따서 들리뉴의 정리라고 하기도 한다. 이는 크게 작은 3~4가지 정리들로 나누어진다.

== 진술 ==
먼저  <math>\Bbb{F}_{q}</math>가 원소 [math(q)]개짜리 유한체라고 하고 [math(X)]가 [math(\Bbb{F}_{q})]에서 nonsingular인 사영 다양체라고 하자. 그리고 [math(\Bbb{F}_{q^n})]에서 [math(X)]의 원소의 갯수를 [math(N_n)]이라고 한다면

<math>\zeta(X,t):=\exp{\left(\sum^{\infty}_{n=1}\frac{N_n}{n}t^n\right)}</math>

라고 하자. 이를 local zeta function이라고 한다. 이제 베이유 가설은 다음 세 가지 정리들을 말한다.

* (i) (유리성) [math(\zeta(X,t))]는 언제나 유리함수이다. 그러니까 적당한 두 다항식 [math(p(t),q(t))]가 있어서 [math(\zeta(X,t)=\frac{p(t)}{q(t)})]다.

* (ii) (함수방정식) [math(\chi)]가 [math(X)]의 오일러 표수라고 하자. 그러면 
  * <math>\zeta\left(X,\frac{1}{q^nt}\right)=\pm q^{\frac{\chi n}{2}}t^{\chi}\zeta(X,t)</math>다.

* (iii) (리만 가설) [math(\zeta(X,t))]를 
  * <math>\frac{P_1(t)P_3(t)\cdots P_{2n-1}(t)}{P_0(t)P_{2}(T)\cdots P_{2n}(t)}</math>라고 표현할 수 있고 [math(P_0(t)=1-t)], [math(P_{2n}(t)=1-q^nt)]이고 [math(1\le i\le 2n-1)]일 때 
  * <math> P_{i}(t)=\prod (1-\alpha_{ij}t)</math>꼴로 표현할 수 있으며 [math(|\alpha_{ij}|=q^{\frac{i}{n}})]이다. 덤으로 [math(\alpha_{ij})]는 대수적 수이다.

== 설명 ==
이 함수는 그냥 보기에는 아무 의미없어 보이지만 이 함수는 중요한 의미를 가지고 있다. 리만 제타 함수나 디리클리 L-함수같은 것이 소수의 성질을 압축하고 있듯이 이것은 algebraic variety의 성질을 압축하고 있다고 볼 수 있다. 그렇기 때문에 이것의 성질은 곧 그 algebraic variety의 성질이 될 수 있다.

== 증명의 개요 ==
이것의 증명은 étale cohomology로 이루어진다. 여기에서 모든 scheme은 noetherian이라고 하자. 먼저 étale sheaf에서 [math(\mu_{n,X})]가 [math(\mathcal{O}_{X})]의 nth root of unity라면 [math( 0\to \mu_n\to \mathcal{O}_{X}\to \mathcal{O}_{X}\to 0)]은 exact sequence이므로 이걸 잘 이용하면 [math(X)]가 smooth curve고 [math(f:X\to \text{Spec}\,k)]라는 morphism이 있을 때 다음 trace mapping을 만들 수 있게 된다. [math( S_{X/k}:R^2f_*(\mu_{n,X})\to \Lambda_{\text{spec}\,k}=(\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})_{\text{spec}\,k})] 여기에다 Leray spectral sequence를 쓰면 compactificable morphism [math(f:X\to S)]에서 [math(f)]의 geometric fibre의 최고 dimension을 [math(d=d(X/S))]라고 쓰기로 한다면 [math( S_{X/S}:R^{2d}f_!((\mu_{n,X})^{\otimes d})\to \Lambda_{S}=(\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})_{S})]을 만들 수 있고 이것은 다음 세 성질을 지니고 있다.

1. base change에 compatible하다.
2. 이것은 composition이 가능하다.[* 그러니까 [math(f:Y\to X)]와 [math(g:X\to S)]가 있다면 [math(R^{2d(Y/S)}(g\circ f)_!((\mu_{n,Y})^{\otimes d(Y/S)})\to (\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})_{S} )]를 생각할 수 있다.]
3. 모든 fibre가 nonempty고 connected라면 이것은 isomorphism이 된다.

이제 이것을 derived category를 써서 일반화시켜 보면 다음을 유도할 수 있게 된다.

[math(f:X\to S)]가 compactificable morphism일 때 [math(\mathcal{F})]가 [math(X)]의 sheaf면 모든 정수 [math(n)]에 대해서 [math( \text{Ext}^n(\mathcal{F},(\mu_{n,X})^{\otimes d})\times H^{2d-n}_{c}(X,\mathcal{F})\to \Lambda)]는 perfect pairing이다.

이를 다시 변형하게 되면 [math(X)]에서 [math(\mathcal{F})]가 [math(\Bbb{Q}_{\ell})]에서 locally constant sheaf일 때 [math( H^{n}(X,\mathrm{Hom}(\mathcal{F},\Bbb{Q}_{\ell}(d)))\times H^{2d-n}_{c}(X,\mathcal{F})\to \Bbb{Q}_{\ell})]이 nondegenerate임을 알 수 있다.

이제 우리는 다음을 보자. [math(\Bbb{F}_{q})]가 finite field라고 하고 [math(\Bbb{F})]가 이것의 algebraic closure라고 하자. [math(X_0)]가 [math(\Bbb{F}_{q})]의 algebraic scheme이라고 하고 [math(\sigma:X_0\to X_0)]가 Frobenius morphism이라고 하자. 그러면 [math(\mathcal{F}_0)]가 [math(X_0)] 위의 [math(\ell)]-adic sheaf일 때 우리는 [math(\sigma:\sigma^*(\mathcal{F})\to \mathcal{F})]라는 morphism을 만들 수 있고 fixed power를 제곱하는 것으로 [math( \sigma^{d}:\mathcal{F}\to \mathcal{F})]를 만들 수 엤다. 이것으로 [math(x\in \mathcal{F})]일 때 [math(\sigma_{x}:\mathcal{F}_{x}\to \mathcal{F}_{x})]를 생각할 수 있게 되고 [math( \sigma^d:H^n_{c}(X,\mathcal{F})\to H^n_{c}(X,\mathcal{F}))]를 생각한다면 다음이 성립한다.

다음이 성립한다. [math( \sum_{x\in X'}\text{Tr}_{\Lambda}(\sigma^d)=\sum_{n}(-1)^n\text{Tr}(\sigma^d:H^n_{c}(X,\mathcal{F})))]여기에서 [math(X)]는 [math(X_0)]를 [math(\Bbb{F})]로 base change시킨 것이고 [math(X')]는 [math(X)]의 geometric point들의 모임이다.

이제 이것들을 이용하면 유리성과 함수방정식을 쉽게 보일 수 있다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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