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Weil conjectures
유한체의 다양성에 대한 정리로서 후에 대수기하학과 정수론의 발전에 큰 영향을 미쳤다. 이는 가설이라는 이름이 붙어 있지만 사실은 이미 증명된 정리다. 그 이유 때문에 이는 이것을 증명한 Deligne의 이름을 따서 들리뉴의 정리라고 하기도 한다. 이는 크게 작은 3~4가지 정리들로 나누어진다.
1. 진술 ✎ ⊖
먼저 \\Bbb{F}_{q}가 원소 q개짜리 유한체라고 하고 X가 \\Bbb{F}_{q}에서 nonsingular인 사영 다양체라고 하자. 그리고 \\Bbb{F}_{q^n}에서 X의 원소의 갯수를 N_n이라고 한다면
\\zeta(X,t):=\\exp{\\left(\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{N_n}{n}t^n\\right)}
라고 하자. 이를 local zeta function이라고 한다. 이제 베이유 가설은 다음 세 가지 정리들을 말한다.
\\zeta(X,t):=\\exp{\\left(\\sum^{\\infty}_{n=1}\\frac{N_n}{n}t^n\\right)}
라고 하자. 이를 local zeta function이라고 한다. 이제 베이유 가설은 다음 세 가지 정리들을 말한다.
- (i) (유리성) \\zeta(X,t)는 언제나 유리함수이다. 그러니까 적당한 두 다항식 p(t),q(t)가 있어서 \\zeta(X,t)=\\frac{p(t)}{q(t)}다.
- (ii) (함수방정식) \\chi가 X의 오일러 표수라고 하자. 그러면
- \\zeta\\left(X,\\frac{1}{q^nt}\\right)=\\pm q^{\\frac{\\chi n}{2}}t^{\\chi}\\zeta(X,t)다.
- (iii) (리만 가설) \\zeta(X,t)를
- \\frac{P_1(t)P_3(t)\\cdots P_{2n-1}(t)}{P_0(t)P_{2}(T)\\cdots P_{2n}(t)}라고 표현할 수 있고 P_0(t)=1-t, P_{2n}(t)=1-q^nt이고 1\\le i\\le 2n-1일 때
- P_{i}(t)=\\prod (1-\\alpha_{ij}t)꼴로 표현할 수 있으며 |\\alpha_{ij}|=q^{\\frac{i}{n}}이다. 덤으로 \\alpha_{ij}는 대수적 수이다.
2. 설명 ✎ ⊖
이 함수는 그냥 보기에는 아무 의미없어 보이지만 이 함수는 중요한 의미를 가지고 있다. 리만 제타 함수나 디리클리 L-함수같은 것이 소수의 성질을 압축하고 있듯이 이것은 algebraic variety의 성질을 압축하고 있다고 볼 수 있다. 그렇기 때문에 이것의 성질은 곧 그 algebraic variety의 성질이 될 수 있다.
3. 증명의 개요 ✎ ⊖
이것의 증명은 étale cohomology로 이루어진다. 여기에서 모든 scheme은 noetherian이라고 하자. 먼저 étale sheaf에서 \\mu_{n,X}가 \\mathcal{O}_{X}의 nth root of unity라면 0\\to \\mu_n\\to \\mathcal{O}_{X}\\to \\mathcal{O}_{X}\\to 0은 exact sequence이므로 이걸 잘 이용하면 X가 smooth curve고 f:X\\to \\text{Spec}\\,k라는 morphism이 있을 때 다음 trace mapping을 만들 수 있게 된다. S_{X/k}:R^2f_*(\\mu_{n,X})\\to \\Lambda_{\\text{spec}\\,k}=(\\Bbb{Z}/n\\Bbb{Z})_{\\text{spec}\\,k} 여기에다 Leray spectral sequence를 쓰면 compactificable morphism f:X\\to S에서 f의 geometric fibre의 최고 dimension을 d=d(X/S)라고 쓰기로 한다면 S_{X/S}:R^{2d}f_!((\\mu_{n,X})^{\\otimes d})\\to \\Lambda_{S}=(\\Bbb{Z}/n\\Bbb{Z})_{S}을 만들 수 있고 이것은 다음 세 성질을 지니고 있다.
1. base change에 compatible하다.
2. 이것은 composition이 가능하다.(1)
3. 모든 fibre가 nonempty고 connected라면 이것은 isomorphism이 된다.
이제 이것을 derived category를 써서 일반화시켜 보면 다음을 유도할 수 있게 된다.
f:X\\to S가 compactificable morphism일 때 \\mathcal{F}가 X의 sheaf면 모든 정수 n에 대해서 \\text{Ext}^n(\\mathcal{F},(\\mu_{n,X})^{\\otimes d})\\times H^{2d-n}_{c}(X,\\mathcal{F})\\to \\Lambda는 perfect pairing이다.
이를 다시 변형하게 되면 X에서 \\mathcal{F}가 \\Bbb{Q}_{\\ell}에서 locally constant sheaf일 때 H^{n}(X,\\mathrm{Hom}(\\mathcal{F},\\Bbb{Q}_{\\ell}(d)))\\times H^{2d-n}_{c}(X,\\mathcal{F})\\to \\Bbb{Q}_{\\ell}이 nondegenerate임을 알 수 있다.
이제 우리는 다음을 보자. \\Bbb{F}_{q}가 finite field라고 하고 \\Bbb{F}가 이것의 algebraic closure라고 하자. X_0가 \\Bbb{F}_{q}의 algebraic scheme이라고 하고 \\sigma:X_0\\to X_0가 Frobenius morphism이라고 하자. 그러면 \\mathcal{F}_0가 X_0 위의 \\ell-adic sheaf일 때 우리는 \\sigma:\\sigma^*(\\mathcal{F})\\to \\mathcal{F}라는 morphism을 만들 수 있고 fixed power를 제곱하는 것으로 \\sigma^{d}:\\mathcal{F}\\to \\mathcal{F}를 만들 수 엤다. 이것으로 x\\in \\mathcal{F}일 때 \\sigma_{x}:\\mathcal{F}_{x}\\to \\mathcal{F}_{x}를 생각할 수 있게 되고 \\sigma^d:H^n_{c}(X,\\mathcal{F})\\to H^n_{c}(X,\\mathcal{F})를 생각한다면 다음이 성립한다.
다음이 성립한다. \\sum_{x\\in X'}\\text{Tr}_{\\Lambda}(\\sigma^d)=\\sum_{n}(-1)^n\\text{Tr}(\\sigma^d:H^n_{c}(X,\\mathcal{F}))여기에서 X는 X_0를 \\Bbb{F}로 base change시킨 것이고 X'는 X의 geometric point들의 모임이다.
이제 이것들을 이용하면 유리성과 함수방정식을 쉽게 보일 수 있다.
1. base change에 compatible하다.
2. 이것은 composition이 가능하다.(1)
3. 모든 fibre가 nonempty고 connected라면 이것은 isomorphism이 된다.
이제 이것을 derived category를 써서 일반화시켜 보면 다음을 유도할 수 있게 된다.
f:X\\to S가 compactificable morphism일 때 \\mathcal{F}가 X의 sheaf면 모든 정수 n에 대해서 \\text{Ext}^n(\\mathcal{F},(\\mu_{n,X})^{\\otimes d})\\times H^{2d-n}_{c}(X,\\mathcal{F})\\to \\Lambda는 perfect pairing이다.
이를 다시 변형하게 되면 X에서 \\mathcal{F}가 \\Bbb{Q}_{\\ell}에서 locally constant sheaf일 때 H^{n}(X,\\mathrm{Hom}(\\mathcal{F},\\Bbb{Q}_{\\ell}(d)))\\times H^{2d-n}_{c}(X,\\mathcal{F})\\to \\Bbb{Q}_{\\ell}이 nondegenerate임을 알 수 있다.
이제 우리는 다음을 보자. \\Bbb{F}_{q}가 finite field라고 하고 \\Bbb{F}가 이것의 algebraic closure라고 하자. X_0가 \\Bbb{F}_{q}의 algebraic scheme이라고 하고 \\sigma:X_0\\to X_0가 Frobenius morphism이라고 하자. 그러면 \\mathcal{F}_0가 X_0 위의 \\ell-adic sheaf일 때 우리는 \\sigma:\\sigma^*(\\mathcal{F})\\to \\mathcal{F}라는 morphism을 만들 수 있고 fixed power를 제곱하는 것으로 \\sigma^{d}:\\mathcal{F}\\to \\mathcal{F}를 만들 수 엤다. 이것으로 x\\in \\mathcal{F}일 때 \\sigma_{x}:\\mathcal{F}_{x}\\to \\mathcal{F}_{x}를 생각할 수 있게 되고 \\sigma^d:H^n_{c}(X,\\mathcal{F})\\to H^n_{c}(X,\\mathcal{F})를 생각한다면 다음이 성립한다.
다음이 성립한다. \\sum_{x\\in X'}\\text{Tr}_{\\Lambda}(\\sigma^d)=\\sum_{n}(-1)^n\\text{Tr}(\\sigma^d:H^n_{c}(X,\\mathcal{F}))여기에서 X는 X_0를 \\Bbb{F}로 base change시킨 것이고 X'는 X의 geometric point들의 모임이다.
이제 이것들을 이용하면 유리성과 함수방정식을 쉽게 보일 수 있다.
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(1) 그러니까 f:Y\\to X와 g:X\\to S가 있다면 R^{2d(Y/S)}(g\\circ f)_!((\\mu_{n,Y})^{\\otimes d(Y/S)})\\to (\\Bbb{Z}/n\\Bbb{Z})_{S} 를 생각할 수 있다.
