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베이유 가설
(편집) (1)
(편집 필터 규칙)
202,1165
== 진술 == 먼저 <math>\Bbb{F}_{q}</math>가 원소 [math(q)]개짜리 유한체라고 하고 [math(X)]가 [math(\Bbb{F}_{q})]에서 nonsingular인 사영 다양체라고 하자. 그리고 [math(\Bbb{F}_{q^n})]에서 [math(X)]의 원소의 갯수를 [math(N_n)]이라고 한다면 <math>\zeta(X,t):=\exp{\left(\sum^{\infty}_{n=1}\frac{N_n}{n}t^n\right)}</math> 라고 하자. 이를 local zeta function이라고 한다. 이제 베이유 가설은 다음 세 가지 정리들을 말한다. * (i) (유리성) [math(\zeta(X,t))]는 언제나 유리함수이다. 그러니까 적당한 두 다항식 [math(p(t),q(t))]가 있어서 [math(\zeta(X,t)=\frac{p(t)}{q(t)})]다. * (ii) (함수방정식) [math(\chi)]가 [math(X)]의 오일러 표수라고 하자. 그러면 * <math>\zeta\left(X,\frac{1}{q^nt}\right)=\pm q^{\frac{\chi n}{2}}t^{\chi}\zeta(X,t)</math>다. * (iii) (리만 가설) [math(\zeta(X,t))]를 * <math>\frac{P_1(t)P_3(t)\cdots P_{2n-1}(t)}{P_0(t)P_{2}(T)\cdots P_{2n}(t)}</math>라고 표현할 수 있고 [math(P_0(t)=1-t)], [math(P_{2n}(t)=1-q^nt)]이고 [math(1\le i\le 2n-1)]일 때 * <math> P_{i}(t)=\prod (1-\alpha_{ij}t)</math>꼴로 표현할 수 있으며 [math(|\alpha_{ij}|=q^{\frac{i}{n}})]이다. 덤으로 [math(\alpha_{ij})]는 대수적 수이다.
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== 진술 == 먼저 <math>\Bbb{F}_{q}</math>가 원소 [math(q)]개짜리 유한체라고 하고 [math(X)]가 [math(\Bbb{F}_{q})]에서 nonsingular인 사영 다양체라고 하자. 그리고 [math(\Bbb{F}_{q^n})]에서 [math(X)]의 원소의 갯수를 [math(N_n)]이라고 한다면 <math>\zeta(X,t):=\exp{\left(\sum^{\infty}_{n=1}\frac{N_n}{n}t^n\right)}</math> 라고 하자. 이를 local zeta function이라고 한다. 이제 베이유 가설은 다음 세 가지 정리들을 말한다. * (i) (유리성) [math(\zeta(X,t))]는 언제나 유리함수이다. 그러니까 적당한 두 다항식 [math(p(t),q(t))]가 있어서 [math(\zeta(X,t)=\frac{p(t)}{q(t)})]다. * (ii) (함수방정식) [math(\chi)]가 [math(X)]의 오일러 표수라고 하자. 그러면 * <math>\zeta\left(X,\frac{1}{q^nt}\right)=\pm q^{\frac{\chi n}{2}}t^{\chi}\zeta(X,t)</math>다. * (iii) (리만 가설) [math(\zeta(X,t))]를 * <math>\frac{P_1(t)P_3(t)\cdots P_{2n-1}(t)}{P_0(t)P_{2}(T)\cdots P_{2n}(t)}</math>라고 표현할 수 있고 [math(P_0(t)=1-t)], [math(P_{2n}(t)=1-q^nt)]이고 [math(1\le i\le 2n-1)]일 때 * <math> P_{i}(t)=\prod (1-\alpha_{ij}t)</math>꼴로 표현할 수 있으며 [math(|\alpha_{ij}|=q^{\frac{i}{n}})]이다. 덤으로 [math(\alpha_{ij})]는 대수적 수이다.
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