베주 항등식 (편집)

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Bézout's identity

두 [[정수]]와 그 최대공약수의 연관성을 나타내는 등식이다.

== 진술 ==
적어도 하나가 영이 아닌 [math(a,b\in\mathbb{Z})]에 대해 [math(\gcd(a,b)=d)]이면 [math(d=au+bv)]를 만족하는 [math(u,v\in \mathbb{Z})]가 존재한다. 또한 [math(d)]는 [math(au+bv)] 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 양의 정수이다.

=== 증명 ===
집합 [math(S)]를 다음과 같이 정의하자.
* [math(S=\{ax+by: x,y\in \mathbb{Z},ax+by\ge 0\})]

그러면 [math(S\subseteq \mathbb{N})]이고 [math(a\ne 0)] 또는 [math(b\ne 0)]이므로 [math(a^2+b^2>0)]이다. 따라서 [math(a^2+b^2\in S)]이므로, [math(S)]는 공집합이 아니다. 따라서 정렬순서공리에 의해 [math(S)]의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 [math(t)]라 하자. 그러면 [math(t=au+bv)]를 만족하는 [math(u,v\in \mathbb{Z})]가 존재한다. 한편 나눗셈 정리에 의해

* [math(a=tq+r)]
인 [math(q,r\in \mathbb{Z})]이 존재하고 이때 [math(0\le r <t)]이다. 따라서

* [math(r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq))]

이다. 따라서 [math(r\in S)]인데, [math(S)]의 최소원소가 [math(t)]이므로 [math(r<t)]이다. 그런데 [math(r)]이 양수라면 [math(t)]가 [math(S)]의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 [math(r=0)]이어야 한다. 따라서 [math(a\mid t)]이다. 마찬가지 방법으로 [math(b\mid t)]임을 보일 수 있다. [math(c\in \mathbb{Z})]가 [math(c\mid a)]이고 [math(c \mid b)]라고 하자. 그러면 [math(a=ck)]이고 [math(b=cl)]인 [math(k,l\in\mathbb{Z})]가 존재한다. 따라서
* [math(t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv))]
이므로 [math(c\mid t)]이다. [math(t>0)]이므로, [math(c\le t)]이다. 따라서 [math(t)]는 [math(a)]와 [math(b)]의 최대공약수이므로 [math(t=d)]이다.

=== 명제의 역 ===
[math(d=1)]이라면 [math(\gcd(a,b)=1)]과 [math(1=au+bv)]를 만족하는 [math(u,v\in\mathbb{Z})]가 존재한다는 것은 동치이다. 정수 [math(a,b)]에 대해 [math(1=au+bv)]를 만족하는 [math(u,v\in \mathbb{Z})]가 존재한다고 가정하자. 그러면 [math(1\in S)]이다. [math(\gcd(a,b)=d)]라고 하면 [math(d)]는 [math(S)]의 양의 최소원소이므로 [math(d\le 1)]이어야 한다. 최대공약수의 정의에 의해 [math(d\ge 1)]이므로, [math(d=1)]이다.

[math(d\ge 2)]라면 정리의 역은 성립하지 않는다.

== 일반화 ==
=== 셋 이상의 정수 ===
[math(a_1,a_2,\cdots,a_n)]이 적어도 하나는 영이 아닌 정수이고 [math(\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=d)]라고 하자. 그러면 [math(d=a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n)]인 [math(u_1,u_2,\cdots,u_n\in \mathbb{Z})]이 존재한다.

=== 다항식환 ===
[[체]] [math(F)]와 [math(a(x),b(x)\in F[x])]에 대해 [math(a(x))]와 [math(b(x))] 중 하나는 영이 아니라고 하자. 그러면 [math(a(x))]와 [math(b(x))]의 최대공약수 [math(d(x)\in F[x])]가 존재하고 [math(d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x))]인 [math(u(x),v(x)\in F[x])]가 존재한다.

=== 추상화 ===
주 아이디얼 정역에서는 베주 항등식이 항상 성립한다. 베주 항등식이 성립하는 정역을 베주 정역이라 한다.

== 참고 문헌 ==
* 김응태 · 박승안(2012), 『정수론』 (제8판), 경문사. ISBN 9788961055956
* Hungerford, T. (2014). ''Abstract algebra: An introduction'' (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336

== 영상 ==
[youtube(ouWMxljOMkI)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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