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베주 항등식

최근 수정 시각 : 2023-05-10 18:15:56 | 조회수 : 55
Bézout's identity

두 정수와 그 최대공약수의 연관성을 나타내는 등식이다.

목차

1. 진술
1.1. 증명
1.2. 명제의 역
2. 일반화
2.1. 셋 이상의 정수
2.2. 다항식환
2.3. 추상화
3. 참고 문헌
4. 영상

1. 진술 ✎ ⊖

적어도 하나가 영이 아닌 a,b∈Za,b\in\mathbb{Z}에 대해 gcd⁡(a,b)=d\gcd(a,b)=d이면 d=au+bvd=au+bv를 만족하는 u,v∈Zu,v\in \mathbb{Z}가 존재한다. 또한 dd는 au+bvau+bv 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 양의 정수이다.

1.1. 증명 ✎ ⊖

집합 SS를 다음과 같이 정의하자.
  • S={ax+by:x,y∈Z,ax+by≥0}S=\{ax+by: x,y\in \mathbb{Z},ax+by\ge 0\}

그러면 S⊆NS\subseteq \mathbb{N}이고 a≠0a\ne 0 또는 b≠0b\ne 0이므로 a2+b2>0a^2+b^2>0이다. 따라서 a2+b2∈Sa^2+b^2\in S이므로, SS는 공집합이 아니다. 따라서 정렬순서공리에 의해 SS의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 tt라 하자. 그러면 t=au+bvt=au+bv를 만족하는 u,v∈Zu,v\in \mathbb{Z}가 존재한다. 한편 나눗셈 정리에 의해
  • a=tq+ra=tq+r
인 q,r∈Zq,r\in \mathbb{Z}이 존재하고 이때 0≤r<t0\le r <t이다. 따라서
  • r=a−tq=a−(au+bv)q=a(1−uq)+b(vq)r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq)

이다. 따라서 r∈Sr\in S인데, SS의 최소원소가 tt이므로 r<tr<t이다. 그런데 rr이 양수라면 tt가 SS의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 r=0r=0이어야 한다. 따라서 a∣ta\mid t이다. 마찬가지 방법으로 b∣tb\mid t임을 보일 수 있다. c∈Zc\in \mathbb{Z}가 c∣ac\mid a이고 c∣bc \mid b라고 하자. 그러면 a=cka=ck이고 b=clb=cl인 k,l∈Zk,l\in\mathbb{Z}가 존재한다. 따라서
  • t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv)t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv)
이므로 c∣tc\mid t이다. t>0t>0이므로, c≤tc\le t이다. 따라서 tt는 aa와 bb의 최대공약수이므로 t=dt=d이다.

1.2. 명제의 역 ✎ ⊖

d=1d=1이라면 gcd⁡(a,b)=1\gcd(a,b)=1과 1=au+bv1=au+bv를 만족하는 u,v∈Zu,v\in\mathbb{Z}가 존재한다는 것은 동치이다. 정수 a,ba,b에 대해 1=au+bv1=au+bv를 만족하는 u,v∈Zu,v\in \mathbb{Z}가 존재한다고 가정하자. 그러면 1∈S1\in S이다. gcd⁡(a,b)=d\gcd(a,b)=d라고 하면 dd는 SS의 양의 최소원소이므로 d≤1d\le 1이어야 한다. 최대공약수의 정의에 의해 d≥1d\ge 1이므로, d=1d=1이다.

d≥2d\ge 2라면 정리의 역은 성립하지 않는다.

2. 일반화 ✎ ⊖

2.1. 셋 이상의 정수 ✎ ⊖

a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n이 적어도 하나는 영이 아닌 정수이고 gcd⁡(a1,a2,⋯ ,an)=d\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=d라고 하자. 그러면 d=a1u1+a2u2+⋯+anund=a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_nu_n인 u1,u2,⋯ ,un∈Zu_1,u_2,\cdots,u_n\in \mathbb{Z}이 존재한다.

2.2. 다항식환 ✎ ⊖

체 FF와 a(x),b(x)∈F[x]a(x),b(x)\in F[x]에 대해 a(x)a(x)와 b(x)b(x) 중 하나는 영이 아니라고 하자. 그러면 a(x)a(x)와 b(x)b(x)의 최대공약수 d(x)∈F[x]d(x)\in F[x]가 존재하고 d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x)d(x)=a(x)u(x)+b(x)v(x)인 u(x),v(x)∈F[x]u(x),v(x)\in F[x]가 존재한다.

2.3. 추상화 ✎ ⊖

주 아이디얼 정역에서는 베주 항등식이 항상 성립한다. 베주 항등식이 성립하는 정역을 베주 정역이라 한다.

3. 참고 문헌 ✎ ⊖

  • 김응태 · 박승안(2012), 『정수론』 (제8판), 경문사. ISBN 9788961055956
  • Hungerford, T. (2014). Abstract algebra: An introduction (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336

4. 영상 ✎ ⊖



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