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256,1252
=== 증명 === 집합 [math(S)]를 다음과 같이 정의하자. * [math(S=\{ax+by: x,y\in \mathbb{Z},ax+by\ge 0\})] 그러면 [math(S\subseteq \mathbb{N})]이고 [math(a\ne 0)] 또는 [math(b\ne 0)]이므로 [math(a^2+b^2>0)]이다. 따라서 [math(a^2+b^2\in S)]이므로, [math(S)]는 공집합이 아니다. 따라서 정렬순서공리에 의해 [math(S)]의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 [math(t)]라 하자. 그러면 [math(t=au+bv)]를 만족하는 [math(u,v\in \mathbb{Z})]가 존재한다. 한편 나눗셈 정리에 의해 * [math(a=tq+r)] 인 [math(q,r\in \mathbb{Z})]이 존재하고 이때 [math(0\le r <t)]이다. 따라서 * [math(r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq))] 이다. 따라서 [math(r\in S)]인데, [math(S)]의 최소원소가 [math(t)]이므로 [math(r<t)]이다. 그런데 [math(r)]이 양수라면 [math(t)]가 [math(S)]의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 [math(r=0)]이어야 한다. 따라서 [math(a\mid t)]이다. 마찬가지 방법으로 [math(b\mid t)]임을 보일 수 있다. [math(c\in \mathbb{Z})]가 [math(c\mid a)]이고 [math(c \mid b)]라고 하자. 그러면 [math(a=ck)]이고 [math(b=cl)]인 [math(k,l\in\mathbb{Z})]가 존재한다. 따라서 * [math(t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv))] 이므로 [math(c\mid t)]이다. [math(t>0)]이므로, [math(c\le t)]이다. 따라서 [math(t)]는 [math(a)]와 [math(b)]의 최대공약수이므로 [math(t=d)]이다.
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=== 증명 === 집합 [math(S)]를 다음과 같이 정의하자. * [math(S=\{ax+by: x,y\in \mathbb{Z},ax+by\ge 0\})] 그러면 [math(S\subseteq \mathbb{N})]이고 [math(a\ne 0)] 또는 [math(b\ne 0)]이므로 [math(a^2+b^2>0)]이다. 따라서 [math(a^2+b^2\in S)]이므로, [math(S)]는 공집합이 아니다. 따라서 정렬순서공리에 의해 [math(S)]의 양의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 [math(t)]라 하자. 그러면 [math(t=au+bv)]를 만족하는 [math(u,v\in \mathbb{Z})]가 존재한다. 한편 나눗셈 정리에 의해 * [math(a=tq+r)] 인 [math(q,r\in \mathbb{Z})]이 존재하고 이때 [math(0\le r <t)]이다. 따라서 * [math(r=a-tq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(vq))] 이다. 따라서 [math(r\in S)]인데, [math(S)]의 최소원소가 [math(t)]이므로 [math(r<t)]이다. 그런데 [math(r)]이 양수라면 [math(t)]가 [math(S)]의 양의 최소원소라는 것에 모순이므로 [math(r=0)]이어야 한다. 따라서 [math(a\mid t)]이다. 마찬가지 방법으로 [math(b\mid t)]임을 보일 수 있다. [math(c\in \mathbb{Z})]가 [math(c\mid a)]이고 [math(c \mid b)]라고 하자. 그러면 [math(a=ck)]이고 [math(b=cl)]인 [math(k,l\in\mathbb{Z})]가 존재한다. 따라서 * [math(t=au+bv=(ck)u+(cl)v=c(ku+lv))] 이므로 [math(c\mid t)]이다. [math(t>0)]이므로, [math(c\le t)]이다. 따라서 [math(t)]는 [math(a)]와 [math(b)]의 최대공약수이므로 [math(t=d)]이다.
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