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체(體, Field)는 사칙연산을 시행할 수 있는 대수적 구조로 가환 나눗셈환이다.
1. 정의 ✎ ⊖
체 (R,+,⋅)는 환이다. 따라서 다음이 성립한다.
R이 체란 것은 다음 체의 공리를 추가로 만족한다는 것을 말한다:
- (A1, 덧셈에 대한 교환성) ∀x∀y:x+y=y+x
- (A2, 덧셈에 대한 결합법칙) ∀x∀y:∀z (x+y)+z=x+(y+z)
- (A3, 덧셈의 항등원) ∃0∀x:0+x=x+0=x
- (A4, 덧셈의 역원) ∀x∃y:x+y=y+x=0
- (M1, 곱셈에 대한 결합법칙) ∀x∀y∀z:(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z)
- (M2, 곱셈의 항등원) ∃1∀x:1⋅x=x⋅1=x
- (D1, 좌분배법칙) ∀x∀y∀z:x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅z
- (D2, 우분배법칙) ∀x∀y∀z:(x+y)⋅z=x⋅y+x⋅z
R이 체란 것은 다음 체의 공리를 추가로 만족한다는 것을 말한다:
- (M2, 곱셈의 항등원) 1≠0
- (M3, 곱셈에 대한 교환성) ∀x∀y:x⋅y=y⋅x
- (M4, 곱셈의 역원) ∀x≠0 ∃ \\frac{1}{x} : x\\cdot \\frac{1}{x}=\\frac{1}{x} \\cdot x=1
2. 사체 ✎ ⊖
체의 정의에서 곱셈에 대한 교환성이 성립하지 않아도 되는 대수적 구조를 사체(斜體, Skew field)라고 한다.
사체를 체라고 할 수도 있는데, 그런 경우에는 곱셈에 대한 교환성이 성립하는 체를 가환체(可換體, Commutative field)라고 한다.
사체를 체라고 할 수도 있는데, 그런 경우에는 곱셈에 대한 교환성이 성립하는 체를 가환체(可換體, Commutative field)라고 한다.
3. 예시 ✎ ⊖
- 유리수, 실수, 복소수 체계
