뷔퐁의 바늘 문제 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
Buffon's needle problem

일정한 간격의 평행선이 그어져있는 평면에 선분과 같은 형태인 바늘을 던졌을 때 바늘이 선에 걸릴 확률을 묻는 문제이다.

== 진술 ==
길이 [math(l)]의 바늘이 일정한 간격 [math(d \geq l)]로 선이 그어져 있는 종이에 던져질 때, 바늘이 선과 교차할 확률은 다음과 같다.

><math>\frac{2}{\pi} \frac{l}{d}</math>

== 실험 ==
=== Lazzarini ===
전하는 바에 의하면, 1901년 Lazzarini는 막대기를 떨어뜨리는 장치를 만들어 [math(\frac{l}{d}=\frac{5}{6})]인 경우에서 3408번 실험을 한 결과, 1808번 선에 걸렸고, [math(\pi=3.1415929...)]라는 결과를 얻었다고 한다. 이는 소숫점 6째자리까지 일치하는 꽤 정확한 결과이다.

=== 위대한 서씨 ===
2013.05.19 위대한 서씨는 Unity로 프로그램을 만들어 실험을 해보았다. [[https://blog.naver.com/jaehyeon0924/110168418370|#]] 바늘을 710번 던진 결과 226번 선에 닿았고, [math(\pi=3.141593)]을 얻었다. 많이 던지면 던질수록 2.84에 가까워지는 마술을 볼 수 있었다.

== 증명 ==
=== 적분기호를 사용하지 않은 증명 ===
어떤 길이 [math(l)] ([math(d)] 이하가 아니어도 된다.)를 가진 바늘을 던졌을 때, 선과의 교차점의 개수의 기댓값을 [math(E(l))]이라고 하자. 그러면 
><math>E(l)=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot p_i</math>[* [math(p_i)]는 교차점이 [math(i)]개일 확률을 말한다.]
이므로 [math(l \leq d)]일 때는 [math(\forall i \geq 2\ p_i=0)]이 되어 [math(E(l)=p_1)], 즉 교차점 개수의 기댓값과 교차할 확률이 같게 된다.

[math(E)]를 가지고 생각해보자. 길이 [math(x)]인 것과 길이 [math(y)]인 바늘을 붙여 길이 [math(x+y)]인 바늘을 만들면, 다음을 알 수 있다.

><math>E(x+y)=E(x)+E(y)</math>

즉 [math(E)]는 선형성을 갖는다. 따라서 간단하게 
><math>\forall r \in \Bbb{Q}\ E(rx)=rE(x)</math>
를 얻으며, [math(x \geq 0)]일 때 [math(E(x))]는 단조증가하므로 
><math>\forall r \in \Bbb{R}\ E(rx)=rE(x)</math>
에서
><math> E(x)=E(1)x</math>
이라고 할 수 있다. 이제 [math(E(1))]을 구하면 될 것이다.

길이 [math(x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_n)]인 선분들이 이어진 도형을 생각하면, 이 도형과 선과의 교차점 개수의 기댓값은 
><math>\sum_{i=1}^{n} E(x_i)=E(1)\sum_{i=1}^{n} x_i</math>
이다. 즉 기댓값은 도형의 전체 길이에 [math(E(1))]을 곱한 것과 같다.

이는 지름이 [math(d)]인 원에서도 성립한다.[* 원에 내접하는 정다각형과 외접하는 정다각형을 생각한 후 변의 수를 [math(\infty)]로 보내면 된다.] 그런데 이 원과 선과의 교차점 개수의 기댓값은 2이므로[* 항상 두 점에서 만나기 때문에]

><math>E(1)d\pi=2 \Rightarrow E(1)=\frac{2}{d\pi}</math>
>
><math>\therefore E(l)=p=\frac{2}{\pi} \frac{l}{d}</math>

=== 적분기호를 사용한 증명 ===
바늘과 선의 양의 방향(?)이 이루는 각도를 [math(\alpha)]라 하자. 반대쪽은 대칭이므로 [math(0 \leq \alpha \leq \pi/2)]만 생각해도 된다.

이 때 바늘의 세로성분의 길이는 [math(l \sin \alpha)]인데, 이것이 선에 걸릴 확률 [math(\frac{l \sin \alpha}{d})]와 각도가 [math(\alpha)]일 때 바늘이 선에 걸릴 확률은 동일하다. 따라서 바늘이 선에 걸릴 확률은

><math>\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{l}{d} \sin \alpha\ d \alpha = \frac{2}{\pi}{l}{d}</math>

이 방법을 이용하면 [math(l>d)]일 때도 확률을 구할 수 있다. [math(\sin^{-1} \frac{d}{l} \leq \alpha \leq \pi/2)]일 때 바늘이 선에 무조건 걸림을 고려하면 다음을 얻는다.

><math>\frac{2}{\pi} \left( \int_{0}^{\sin^{-1} \frac{d}{l}} \frac{l}{d} \sin \alpha\ d \alpha + \int_{\sin^{-1} \frac{d}{l}}^{\pi/2} 1\ d\alpha \right) = 1+\frac{2}{\pi} \left( \frac{l}{d} \left( 1-\sqrt{1-\frac{d^2}{l^2}} \right) - \sin^{-1} \frac{d}{l} \right)</math>

== 영상 ==
[youtube(Ymw4Y_-TizI)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

(임시 저장) (임시 저장 불러오기)

(↪️) (💎) (🛠️) (추가)