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Buffon's needle problem
일정한 간격의 평행선이 그어져있는 평면에 선분과 같은 형태인 바늘을 던졌을 때 바늘이 선에 걸릴 확률을 묻는 문제이다.
1. 진술 ✎ ⊖
길이 l의 바늘이 일정한 간격 d \\geq l로 선이 그어져 있는 종이에 던져질 때, 바늘이 선과 교차할 확률은 다음과 같다.
\\frac{2}{\\pi} \\frac{l}{d}
2. 실험 ✎ ⊖
2.1. Lazzarini ✎ ⊖
전하는 바에 의하면, 1901년 Lazzarini는 막대기를 떨어뜨리는 장치를 만들어 \\frac{l}{d}=\\frac{5}{6}인 경우에서 3408번 실험을 한 결과, 1808번 선에 걸렸고, \\pi=3.1415929...라는 결과를 얻었다고 한다. 이는 소숫점 6째자리까지 일치하는 꽤 정확한 결과이다.
2.2. 위대한 서씨 ✎ ⊖
2013.05.19 위대한 서씨는 Unity로 프로그램을 만들어 실험을 해보았다. # 바늘을 710번 던진 결과 226번 선에 닿았고, \\pi=3.141593을 얻었다. 많이 던지면 던질수록 2.84에 가까워지는 마술을 볼 수 있었다.
3. 증명 ✎ ⊖
3.1. 적분기호를 사용하지 않은 증명 ✎ ⊖
어떤 길이 l (d 이하가 아니어도 된다.)를 가진 바늘을 던졌을 때, 선과의 교차점의 개수의 기댓값을 E(l)이라고 하자. 그러면
이므로 l \\leq d일 때는 \\forall i \\geq 2\\ p_i=0이 되어 E(l)=p_1, 즉 교차점 개수의 기댓값과 교차할 확률이 같게 된다.
E를 가지고 생각해보자. 길이 x인 것과 길이 y인 바늘을 붙여 길이 x+y인 바늘을 만들면, 다음을 알 수 있다.
즉 E는 선형성을 갖는다. 따라서 간단하게
를 얻으며, x \\geq 0일 때 E(x)는 단조증가하므로
에서
이라고 할 수 있다. 이제 E(1)을 구하면 될 것이다.
길이 x_1,\\ x_2,\\ \\cdots ,\\ x_n인 선분들이 이어진 도형을 생각하면, 이 도형과 선과의 교차점 개수의 기댓값은
이다. 즉 기댓값은 도형의 전체 길이에 E(1)을 곱한 것과 같다.
이는 지름이 d인 원에서도 성립한다.(2) 그런데 이 원과 선과의 교차점 개수의 기댓값은 2이므로(3)
E(l)=\\sum_{i=1}^{\\infty}i\\cdot p_i(1)
이므로 l \\leq d일 때는 \\forall i \\geq 2\\ p_i=0이 되어 E(l)=p_1, 즉 교차점 개수의 기댓값과 교차할 확률이 같게 된다.
E를 가지고 생각해보자. 길이 x인 것과 길이 y인 바늘을 붙여 길이 x+y인 바늘을 만들면, 다음을 알 수 있다.
E(x+y)=E(x)+E(y)
즉 E는 선형성을 갖는다. 따라서 간단하게
\\forall r \\in \\Bbb{Q}\\ E(rx)=rE(x)
를 얻으며, x \\geq 0일 때 E(x)는 단조증가하므로
\\forall r \\in \\Bbb{R}\\ E(rx)=rE(x)
에서
E(x)=E(1)x
이라고 할 수 있다. 이제 E(1)을 구하면 될 것이다.
길이 x_1,\\ x_2,\\ \\cdots ,\\ x_n인 선분들이 이어진 도형을 생각하면, 이 도형과 선과의 교차점 개수의 기댓값은
\\sum_{i=1}^{n} E(x_i)=E(1)\\sum_{i=1}^{n} x_i
이다. 즉 기댓값은 도형의 전체 길이에 E(1)을 곱한 것과 같다.
이는 지름이 d인 원에서도 성립한다.(2) 그런데 이 원과 선과의 교차점 개수의 기댓값은 2이므로(3)
E(1)d\\pi=2 \\Rightarrow E(1)=\\frac{2}{d\\pi}
\\therefore E(l)=p=\\frac{2}{\\pi} \\frac{l}{d}
3.2. 적분기호를 사용한 증명 ✎ ⊖
바늘과 선의 양의 방향(?)이 이루는 각도를 \\alpha라 하자. 반대쪽은 대칭이므로 0 \\leq \\alpha \\leq \\pi/2만 생각해도 된다.
이 때 바늘의 세로성분의 길이는 l \\sin \\alpha인데, 이것이 선에 걸릴 확률 \\frac{l \\sin \\alpha}{d}와 각도가 \\alpha일 때 바늘이 선에 걸릴 확률은 동일하다. 따라서 바늘이 선에 걸릴 확률은
이 방법을 이용하면 l>d일 때도 확률을 구할 수 있다. \\sin^{-1} \\frac{d}{l} \\leq \\alpha \\leq \\pi/2일 때 바늘이 선에 무조건 걸림을 고려하면 다음을 얻는다.
이 때 바늘의 세로성분의 길이는 l \\sin \\alpha인데, 이것이 선에 걸릴 확률 \\frac{l \\sin \\alpha}{d}와 각도가 \\alpha일 때 바늘이 선에 걸릴 확률은 동일하다. 따라서 바늘이 선에 걸릴 확률은
\\frac{2}{\\pi} \\int_{0}^{\\pi/2} \\frac{l}{d} \\sin \\alpha\\ d \\alpha = \\frac{2}{\\pi}{l}{d}
이 방법을 이용하면 l>d일 때도 확률을 구할 수 있다. \\sin^{-1} \\frac{d}{l} \\leq \\alpha \\leq \\pi/2일 때 바늘이 선에 무조건 걸림을 고려하면 다음을 얻는다.
\\frac{2}{\\pi} \\left( \\int_{0}^{\\sin^{-1} \\frac{d}{l}} \\frac{l}{d} \\sin \\alpha\\ d \\alpha + \\int_{\\sin^{-1} \\frac{d}{l}}^{\\pi/2} 1\\ d\\alpha \\right) = 1+\\frac{2}{\\pi} \\left( \\frac{l}{d} \\left( 1-\\sqrt{1-\\frac{d^2}{l^2}} \\right) - \\sin^{-1} \\frac{d}{l} \\right)
