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뷔퐁의 바늘 문제

최근 수정 시각 : 2023-05-10 19:29:14 | 조회수 : 6

Buffon's needle problem

일정한 간격의 평행선이 그어져있는 평면에 선분과 같은 형태인 바늘을 던졌을 때 바늘이 선에 걸릴 확률을 묻는 문제이다.

목차

1. 진술
2. 실험
2.1. Lazzarini
2.2. 위대한 서씨
3. 증명
3.1. 적분기호를 사용하지 않은 증명
3.2. 적분기호를 사용한 증명
4. 영상

1. 진술

길이 l의 바늘이 일정한 간격 d \\geq l로 선이 그어져 있는 종이에 던져질 때, 바늘이 선과 교차할 확률은 다음과 같다.

\\frac{2}{\\pi} \\frac{l}{d}

2. 실험

2.1. Lazzarini

전하는 바에 의하면, 1901년 Lazzarini는 막대기를 떨어뜨리는 장치를 만들어 \\frac{l}{d}=\\frac{5}{6}인 경우에서 3408번 실험을 한 결과, 1808번 선에 걸렸고, \\pi=3.1415929...라는 결과를 얻었다고 한다. 이는 소숫점 6째자리까지 일치하는 꽤 정확한 결과이다.

2.2. 위대한 서씨

2013.05.19 위대한 서씨는 Unity로 프로그램을 만들어 실험을 해보았다. # 바늘을 710번 던진 결과 226번 선에 닿았고, \\pi=3.141593을 얻었다. 많이 던지면 던질수록 2.84에 가까워지는 마술을 볼 수 있었다.

3. 증명

3.1. 적분기호를 사용하지 않은 증명

어떤 길이 l (d 이하가 아니어도 된다.)를 가진 바늘을 던졌을 때, 선과의 교차점의 개수의 기댓값을 E(l)이라고 하자. 그러면
E(l)=\\sum_{i=1}^{\\infty}i\\cdot p_i(1)

이므로 l \\leq d일 때는 \\forall i \\geq 2\\ p_i=0이 되어 E(l)=p_1, 즉 교차점 개수의 기댓값과 교차할 확률이 같게 된다.

E를 가지고 생각해보자. 길이 x인 것과 길이 y인 바늘을 붙여 길이 x+y인 바늘을 만들면, 다음을 알 수 있다.

E(x+y)=E(x)+E(y)


E는 선형성을 갖는다. 따라서 간단하게
\\forall r \\in \\Bbb{Q}\\ E(rx)=rE(x)

를 얻으며, x \\geq 0일 때 E(x)는 단조증가하므로
\\forall r \\in \\Bbb{R}\\ E(rx)=rE(x)

에서
E(x)=E(1)x

이라고 할 수 있다. 이제 E(1)을 구하면 될 것이다.

길이 x_1,\\ x_2,\\ \\cdots ,\\ x_n인 선분들이 이어진 도형을 생각하면, 이 도형과 선과의 교차점 개수의 기댓값은
\\sum_{i=1}^{n} E(x_i)=E(1)\\sum_{i=1}^{n} x_i

이다. 즉 기댓값은 도형의 전체 길이에 E(1)을 곱한 것과 같다.

이는 지름이 d인 원에서도 성립한다.(2) 그런데 이 원과 선과의 교차점 개수의 기댓값은 2이므로(3)

E(1)d\\pi=2 \\Rightarrow E(1)=\\frac{2}{d\\pi}

\\therefore E(l)=p=\\frac{2}{\\pi} \\frac{l}{d}

3.2. 적분기호를 사용한 증명

바늘과 선의 양의 방향(?)이 이루는 각도를 \\alpha라 하자. 반대쪽은 대칭이므로 0 \\leq \\alpha \\leq \\pi/2만 생각해도 된다.

이 때 바늘의 세로성분의 길이는 l \\sin \\alpha인데, 이것이 선에 걸릴 확률 \\frac{l \\sin \\alpha}{d}와 각도가 \\alpha일 때 바늘이 선에 걸릴 확률은 동일하다. 따라서 바늘이 선에 걸릴 확률은

\\frac{2}{\\pi} \\int_{0}^{\\pi/2} \\frac{l}{d} \\sin \\alpha\\ d \\alpha = \\frac{2}{\\pi}{l}{d}


이 방법을 이용하면 l>d일 때도 확률을 구할 수 있다. \\sin^{-1} \\frac{d}{l} \\leq \\alpha \\leq \\pi/2일 때 바늘이 선에 무조건 걸림을 고려하면 다음을 얻는다.

\\frac{2}{\\pi} \\left( \\int_{0}^{\\sin^{-1} \\frac{d}{l}} \\frac{l}{d} \\sin \\alpha\\ d \\alpha + \\int_{\\sin^{-1} \\frac{d}{l}}^{\\pi/2} 1\\ d\\alpha \\right) = 1+\\frac{2}{\\pi} \\left( \\frac{l}{d} \\left( 1-\\sqrt{1-\\frac{d^2}{l^2}} \\right) - \\sin^{-1} \\frac{d}{l} \\right)

4. 영상



(1) p_i는 교차점이 i개일 확률을 말한다.
(2) 원에 내접하는 정다각형과 외접하는 정다각형을 생각한 후 변의 수를 \\infty로 보내면 된다.
(3) 항상 두 점에서 만나기 때문에