뷔퐁의 바늘 문제 (편집) (6)

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=== 적분기호를 사용하지 않은 증명 ===
어떤 길이 [math(l)] ([math(d)] 이하가 아니어도 된다.)를 가진 바늘을 던졌을 때, 선과의 교차점의 개수의 기댓값을 [math(E(l))]이라고 하자. 그러면 
><math>E(l)=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot p_i</math>[* [math(p_i)]는 교차점이 [math(i)]개일 확률을 말한다.]
이므로 [math(l \leq d)]일 때는 [math(\forall i \geq 2\ p_i=0)]이 되어 [math(E(l)=p_1)], 즉 교차점 개수의 기댓값과 교차할 확률이 같게 된다.

[math(E)]를 가지고 생각해보자. 길이 [math(x)]인 것과 길이 [math(y)]인 바늘을 붙여 길이 [math(x+y)]인 바늘을 만들면, 다음을 알 수 있다.

><math>E(x+y)=E(x)+E(y)</math>

즉 [math(E)]는 선형성을 갖는다. 따라서 간단하게 
><math>\forall r \in \Bbb{Q}\ E(rx)=rE(x)</math>
를 얻으며, [math(x \geq 0)]일 때 [math(E(x))]는 단조증가하므로 
><math>\forall r \in \Bbb{R}\ E(rx)=rE(x)</math>
에서
><math> E(x)=E(1)x</math>
이라고 할 수 있다. 이제 [math(E(1))]을 구하면 될 것이다.

길이 [math(x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_n)]인 선분들이 이어진 도형을 생각하면, 이 도형과 선과의 교차점 개수의 기댓값은 
><math>\sum_{i=1}^{n} E(x_i)=E(1)\sum_{i=1}^{n} x_i</math>
이다. 즉 기댓값은 도형의 전체 길이에 [math(E(1))]을 곱한 것과 같다.

이는 지름이 [math(d)]인 원에서도 성립한다.[* 원에 내접하는 정다각형과 외접하는 정다각형을 생각한 후 변의 수를 [math(\infty)]로 보내면 된다.] 그런데 이 원과 선과의 교차점 개수의 기댓값은 2이므로[* 항상 두 점에서 만나기 때문에]

><math>E(1)d\pi=2 \Rightarrow E(1)=\frac{2}{d\pi}</math>
>
><math>\therefore E(l)=p=\frac{2}{\pi} \frac{l}{d}</math>

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[math(E)]를 가지고 생각해보자. 길이 [math(x)]인 것과 길이 [math(y)]인 바늘을 붙여 길이 [math(x+y)]인 바늘을 만들면, 다음을 알 수 있다.

><math>E(x+y)=E(x)+E(y)</math>

><math>E(1)d\pi=2 \Rightarrow E(1)=\frac{2}{d\pi}</math>
>
><math>\therefore E(l)=p=\frac{2}{\pi} \frac{l}{d}</math>

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