사차방정식 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
Quartic equation

[[다항식|다항]] 방정식 중 하나로 다음 꼴의 방정식을 말한다.

><math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0</math>

여기서 [math(a\neq 0)]이다.

== 근의 공식 ==
일반적인 복소계수 4차방정식 [math(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\ (a \neq 0))]을 생각하자.

적당한 [math(t \in \Bbb C)]에 대하여 [math(\displaystyle z=x-\frac{b}{4a})]로 치환하고 4차항의 계수로 방정식을 나누면 [math(z^4+pz^2+qz+r=0)] 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.

[math(w \in \Bbb C)]에 대하여 [math((z^2+w)^2 = (2w-p){z}^2-qz+w^2-r)]가 되는데, 우변의 판별식이 0인 [math(w)]를 3차방정식을 풀어 구하면 우변을 완전제곱식꼴로 고칠 수 있고, 따라서 두 개의 이차방정식으로 나눠진 4차방정식을 풀어 해를 구할 수 있다.

이를 이용하면 [math(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\ (a \neq 0))]의 해가

<math>x = {\frac{-a}{4}}</math>
<math>\pm\frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{2b}{3}+\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}+\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}}}</math>
<math>\pm\frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{4b}{3}-\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}-\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}-\frac{-a^3+4ab-8c}{4{\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{2b}{3}+\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}+\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}}}}}}</math>
임을 알 수 있다.

== 판별식 ==
사차 방정식 [math(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e=0 (a \neq 0))]의 판별식은
>[math(D=-27b^4e^2+16c^4ae-27d^4a^2+256a^3e^3+18b^3cde-4b^3d^3-4c^3b^2a-4c^3b^2e+18d^3abc-128a^2c^2e^2+144a^2d^2ce-192a^2e^2bd+b^2c^2d^2-6b^2d^2ae+144b^2e^2ac-80c^2abde)]
이다.

== 영상 ==
[youtube(ZWOUmUaDDpk)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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