사차방정식

최근 수정 시각 : 2023-05-11 23:41:15 | 조회수 : 69

Quartic equation

다항 방정식 중 하나로 다음 꼴의 방정식을 말한다.

ax4+bx3+cx2+dx+e=0ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0


여기서 a0a\neq 0이다.

목차

1. 근의 공식
2. 판별식
3. 영상

1. 근의 공식

일반적인 복소계수 4차방정식 ax4+bx3+cx2+dx+e=0 (a0)ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\ (a \neq 0)을 생각하자.

적당한 tCt \in \Bbb C에 대하여 z=xb4a\displaystyle z=x-\frac{b}{4a}로 치환하고 4차항의 계수로 방정식을 나누면 z4+pz2+qz+r=0z^4+pz^2+qz+r=0 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.

wCw \in \Bbb C에 대하여 (z2+w)2=(2wp)z2qz+w2r(z^2+w)^2 = (2w-p){z}^2-qz+w^2-r가 되는데, 우변의 판별식이 0인 ww를 3차방정식을 풀어 구하면 우변을 완전제곱식꼴로 고칠 수 있고, 따라서 두 개의 이차방정식으로 나눠진 4차방정식을 풀어 해를 구할 수 있다.

이를 이용하면 ax4+bx3+cx2+dx+e=0 (a0)ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\ (a \neq 0)의 해가

x=a4x = {\frac{-a}{4}}
±12a242b3+213(b23ac+12d)3(2b39abc+27c2+27a2d72bd+4(b23ac+12d)3+(2b39abc+27c2+27a2d72bd)2)13+(2b39abc+27c2+27a2d72bd+4(b23ac+12d)3+(2b39abc+27c2+27a2d72bd)254)13\pm\frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{2b}{3}+\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}+\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}}}
±12a224b3213(b23ac+12d)3(2b39abc+27c2+27a2d72bd+4(b23ac+12d)3+(2b39abc+27c2+27a2d72bd)2)13(2b39abc+27c2+27a2d72bd+4(b23ac+12d)3+(2b39abc+27c2+27a2d72bd)254)13a3+4ab8c4a242b3+213(b23ac+12d)3(2b39abc+27c2+27a2d72bd+4(b23ac+12d)3+(2b39abc+27c2+27a2d72bd)2)13+(2b39abc+27c2+27a2d72bd+4(b23ac+12d)3+(2b39abc+27c2+27a2d72bd)254)13\pm\frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{4b}{3}-\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}-\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}-\frac{-a^3+4ab-8c}{4{\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{2b}{3}+\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}+\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}}}}}}
임을 알 수 있다.

2. 판별식

사차 방정식 ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a0)ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e=0 (a \neq 0)의 판별식은
D=27b4e2+16c4ae27d4a2+256a3e3+18b3cde4b3d34c3b2a4c3b2e+18d3abc128a2c2e2+144a2d2ce192a2e2bd+b2c2d26b2d2ae+144b2e2ac80c2abdeD=-27b^4e^2+16c^4ae-27d^4a^2+256a^3e^3+18b^3cde-4b^3d^3-4c^3b^2a-4c^3b^2e+18d^3abc-128a^2c^2e^2+144a^2d^2ce-192a^2e^2bd+b^2c^2d^2-6b^2d^2ae+144b^2e^2ac-80c^2abde

이다.

3. 영상



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