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사차방정식
(편집) (1)
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135,1831
== 근의 공식 == 일반적인 복소계수 4차방정식 [math(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\ (a \neq 0))]을 생각하자. 적당한 [math(t \in \Bbb C)]에 대하여 [math(\displaystyle z=x-\frac{b}{4a})]로 치환하고 4차항의 계수로 방정식을 나누면 [math(z^4+pz^2+qz+r=0)] 꼴의 방정식을 얻을 수 있다. [math(w \in \Bbb C)]에 대하여 [math((z^2+w)^2 = (2w-p){z}^2-qz+w^2-r)]가 되는데, 우변의 판별식이 0인 [math(w)]를 3차방정식을 풀어 구하면 우변을 완전제곱식꼴로 고칠 수 있고, 따라서 두 개의 이차방정식으로 나눠진 4차방정식을 풀어 해를 구할 수 있다. 이를 이용하면 [math(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\ (a \neq 0))]의 해가 <math>x = {\frac{-a}{4}}</math> <math>\pm\frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{2b}{3}+\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}+\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}}}</math> <math>\pm\frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{4b}{3}-\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}-\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}-\frac{-a^3+4ab-8c}{4{\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{2b}{3}+\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}+\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}}}}}}</math> 임을 알 수 있다.
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== 근의 공식 == 일반적인 복소계수 4차방정식 [math(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\ (a \neq 0))]을 생각하자. 적당한 [math(t \in \Bbb C)]에 대하여 [math(\displaystyle z=x-\frac{b}{4a})]로 치환하고 4차항의 계수로 방정식을 나누면 [math(z^4+pz^2+qz+r=0)] 꼴의 방정식을 얻을 수 있다. [math(w \in \Bbb C)]에 대하여 [math((z^2+w)^2 = (2w-p){z}^2-qz+w^2-r)]가 되는데, 우변의 판별식이 0인 [math(w)]를 3차방정식을 풀어 구하면 우변을 완전제곱식꼴로 고칠 수 있고, 따라서 두 개의 이차방정식으로 나눠진 4차방정식을 풀어 해를 구할 수 있다. 이를 이용하면 [math(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\ (a \neq 0))]의 해가 <math>x = {\frac{-a}{4}}</math> <math>\pm\frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{2b}{3}+\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}+\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}}}</math> <math>\pm\frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{4b}{3}-\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}-\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}-\frac{-a^3+4ab-8c}{4{\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{2b}{3}+\frac{2^{\frac{1}{3}}\left(b^2-3ac+12d\right)}{3{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}\right)}^{\frac{1}{3}}}+\left(\frac{{2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd+{\sqrt{-4{\left(b^2-3ac+12d\right)}^3+{\left(2b^3-9abc+27c^2+27a^2d-72bd\right)}^2}}}}{54}\right)^\frac{1}{3}}}}}}</math> 임을 알 수 있다.
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