삼차방정식 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
Cubic equation

[[다항식|다항]] 방정식 중 하나로 다음 꼴의 방정식을 말한다.

><math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>

여기서 [math(a\neq 0)]이다.

== 근의 공식 ==
일반적인 복소계수 3차방정식 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a \neq 0))]을 생각하자.

적당한 [math(t \in \Bbb C)]를 잡아 [math(\displaystyle z=x-\frac{b}{3a})]로 치환하고 3차항의 계수로 방정식을 나누면 [math(z^3+pz+q=0)] 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.

[math(z=u+v)]라 하면 [math(u^3+v^3+3u^v+3uv^2+p(u+v)+q=0)]인데, 여기서 [math(uv=-\frac{p}{3})]이 되도록 하면 [math(u^3+v^3=-q)]가 되며, [math(uv=-\frac{p}{3})]와 연립하면 일반성을 잃지 않고

[math(u=\omega^n \sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},\ v=\omega^{3-n} \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\ (\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\ n=0,1,2))]임을 얻는다.

따라서

[math(z=\omega^n \sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\omega^{3-n} \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\ (n=0,1,2))]이다.

이를 이용하면 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a \neq 0))]의 해가

[math(x = -\frac{b}{3a}-\omega^n \frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}-\omega^{3-n}\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ (n=0,1,2))]

임을 알 수 있다.

=== 다른 증명법 ===
==== 대입법 ====
적당한 치환을 통해 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0)]을 [math(y^3+py+q=0)]으로 만드는 것 까지는 동일하다.

이제 [math(y=z-\frac{p}{3z})]으로 치환하여 정리하면
* <math>z^6+qz^3-\frac{p^3}{27}=0</math>
을 얻고, 이는 [math(z^3)]에 대한 이차방정식이므로 [math(z^3)]을 구할 수 있다. 따라서
* <math>z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}\right)}</math>
를 얻는다. 치환을 거꾸로 하면 [math(x)]를 얻는다.

== 판별식 ==
삼차 방정식 [math(ax^3 + bx^2 + cx + d=0 (a \neq 0))]의 판별식은
><math>D=b^2c^2-4b^3d-4ac^3+18abcd-27a^2d^2</math>
이것이다.
=== 2차항 없는 3차방정식의 판별식 ===
[math(x^3 + px + q)]이라는 삼차방정식은 판별식이 [math(−4p^3-27q^2)]이다.
=== 판별식 사용법 ===
이것은 2차항의 유무에 관계없이 똑같이 적용된다.
* [math(D>0)]: 서로 다른 세 실근을 가진다.
* [math(D=0)]이면 중근을 포함한 실근을 가진다.
  * [math(D=0)], [math(b^2=3ac)], [math(ad=bc)] 이 세 가지를 동시에 만족하면 삼중근을 가진다.
* [math(D<0)] 실근 하나와 허근 둘을 가진다.

== 영상 ==
[youtube(ZWOUmUaDDpk)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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