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Cubic equation
다항 방정식 중 하나로 다음 꼴의 방정식을 말한다.
ax^3+bx^2+cx+d=0
여기서 a\\neq 0이다.
1. 근의 공식 ✎ ⊖
일반적인 복소계수 3차방정식 ax^3+bx^2+cx+d=0\\ (a \\neq 0)을 생각하자.
적당한 t \\in \\Bbb C를 잡아 \\displaystyle z=x-\\frac{b}{3a}로 치환하고 3차항의 계수로 방정식을 나누면 z^3+pz+q=0 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.
z=u+v라 하면 u^3+v^3+3u^v+3uv^2+p(u+v)+q=0인데, 여기서 uv=-\\frac{p}{3}이 되도록 하면 u^3+v^3=-q가 되며, uv=-\\frac{p}{3}와 연립하면 일반성을 잃지 않고
u=\\omega^n \\sqrt[3]{\\frac{q}{2}+\\sqrt{\\frac{q^2}{4}+\\frac{p^3}{27}}},\\ v=\\omega^{3-n} \\sqrt[3]{\\frac{q}{2}-\\sqrt{\\frac{q^2}{4}+\\frac{p^3}{27}}}\\ (\\omega=-\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}i,\\ n=0,1,2)임을 얻는다.
따라서
z=\\omega^n \\sqrt[3]{\\frac{q}{2}+\\sqrt{\\frac{q^2}{4}+\\frac{p^3}{27}}}+\\omega^{3-n} \\sqrt[3]{\\frac{q}{2}-\\sqrt{\\frac{q^2}{4}+\\frac{p^3}{27}}}\\ (n=0,1,2)이다.
이를 이용하면 ax^3+bx^2+cx+d=0\\ (a \\neq 0)의 해가
x = -\\frac{b}{3a}-\\omega^n \\frac{1}{3 a} \\sqrt[3]{\\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\\sqrt{\\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\\right)^2-4 \\left(b^2-3 a c\\right)^3}}{2}}-\\omega^{3-n}\\frac{1}{3 a} \\sqrt[3]{\\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\\sqrt{\\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\\right)^2-4 \\left(b^2-3 a c\\right)^3}}{2}}\\ (n=0,1,2)
임을 알 수 있다.
적당한 t \\in \\Bbb C를 잡아 \\displaystyle z=x-\\frac{b}{3a}로 치환하고 3차항의 계수로 방정식을 나누면 z^3+pz+q=0 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.
z=u+v라 하면 u^3+v^3+3u^v+3uv^2+p(u+v)+q=0인데, 여기서 uv=-\\frac{p}{3}이 되도록 하면 u^3+v^3=-q가 되며, uv=-\\frac{p}{3}와 연립하면 일반성을 잃지 않고
u=\\omega^n \\sqrt[3]{\\frac{q}{2}+\\sqrt{\\frac{q^2}{4}+\\frac{p^3}{27}}},\\ v=\\omega^{3-n} \\sqrt[3]{\\frac{q}{2}-\\sqrt{\\frac{q^2}{4}+\\frac{p^3}{27}}}\\ (\\omega=-\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}i,\\ n=0,1,2)임을 얻는다.
따라서
z=\\omega^n \\sqrt[3]{\\frac{q}{2}+\\sqrt{\\frac{q^2}{4}+\\frac{p^3}{27}}}+\\omega^{3-n} \\sqrt[3]{\\frac{q}{2}-\\sqrt{\\frac{q^2}{4}+\\frac{p^3}{27}}}\\ (n=0,1,2)이다.
이를 이용하면 ax^3+bx^2+cx+d=0\\ (a \\neq 0)의 해가
x = -\\frac{b}{3a}-\\omega^n \\frac{1}{3 a} \\sqrt[3]{\\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\\sqrt{\\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\\right)^2-4 \\left(b^2-3 a c\\right)^3}}{2}}-\\omega^{3-n}\\frac{1}{3 a} \\sqrt[3]{\\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\\sqrt{\\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\\right)^2-4 \\left(b^2-3 a c\\right)^3}}{2}}\\ (n=0,1,2)
임을 알 수 있다.
1.1. 다른 증명법 ✎ ⊖
1.1.1. 대입법 ✎ ⊖
적당한 치환을 통해 ax^3+bx^2+cx+d=0을 y^3+py+q=0으로 만드는 것 까지는 동일하다.
이제 y=z-\\frac{p}{3z}으로 치환하여 정리하면
이제 y=z-\\frac{p}{3z}으로 치환하여 정리하면
- z^6+qz^3-\\frac{p^3}{27}=0
- z=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}\\left(-q\\pm\\sqrt{q^2+\\frac{4p^3}{27}}\\right)}
2. 판별식 ✎ ⊖
삼차 방정식 ax^3 + bx^2 + cx + d=0 (a \\neq 0)의 판별식은
이것이다.
D=b^2c^2-4b^3d-4ac^3+18abcd-27a^2d^2
이것이다.
2.1. 2차항 없는 3차방정식의 판별식 ✎ ⊖
x^3 + px + q이라는 삼차방정식은 판별식이 −4p^3-27q^2이다.
2.2. 판별식 사용법 ✎ ⊖
이것은 2차항의 유무에 관계없이 똑같이 적용된다.
- D>0: 서로 다른 세 실근을 가진다.
- D=0이면 중근을 포함한 실근을 가진다.
- D=0, b^2=3ac, ad=bc 이 세 가지를 동시에 만족하면 삼중근을 가진다.
- D<0 실근 하나와 허근 둘을 가진다.
