삼차방정식 (편집) (1)

== 근의 공식 ==
일반적인 복소계수 3차방정식 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a \neq 0))]을 생각하자.

적당한 [math(t \in \Bbb C)]를 잡아 [math(\displaystyle z=x-\frac{b}{3a})]로 치환하고 3차항의 계수로 방정식을 나누면 [math(z^3+pz+q=0)] 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.

[math(z=u+v)]라 하면 [math(u^3+v^3+3u^v+3uv^2+p(u+v)+q=0)]인데, 여기서 [math(uv=-\frac{p}{3})]이 되도록 하면 [math(u^3+v^3=-q)]가 되며, [math(uv=-\frac{p}{3})]와 연립하면 일반성을 잃지 않고

[math(u=\omega^n \sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},\ v=\omega^{3-n} \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\ (\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\ n=0,1,2))]임을 얻는다.

따라서

[math(z=\omega^n \sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\omega^{3-n} \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\ (n=0,1,2))]이다.

이를 이용하면 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a \neq 0))]의 해가

[math(x = -\frac{b}{3a}-\omega^n \frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}-\omega^{3-n}\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\ (n=0,1,2))]

임을 알 수 있다.

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== 근의 공식 ==
일반적인 복소계수 3차방정식 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a \neq 0))]을 생각하자.

적당한 [math(t \in \Bbb C)]를 잡아 [math(\displaystyle z=x-\frac{b}{3a})]로 치환하고 3차항의 계수로 방정식을 나누면 [math(z^3+pz+q=0)] 꼴의 방정식을 얻을 수 있다.

따라서

[math(z=\omega^n \sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\omega^{3-n} \sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\ (n=0,1,2))]이다.

이를 이용하면 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a \neq 0))]의 해가

임을 알 수 있다.

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