선택공리 (편집) - 시드위키

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Axiom of choice, AC

임의의 집합족 [math(\{S_i\}_{i\in I})]의 각 집합에서 원소 [math(x_i)]를 하나씩 뽑아서 집합 [math(\{x_i:i\in I\})]을 새로 구성할 수 있다는 내용의 공리이다.

== 정의 ==
일반적으로 다음과 같은 정의들 중 하나가 채택되고, 이들은 동치이다.

* [math(\{S_i\}_{i\in I})]가 집합족이라 하자. 이 때 집합 [math(A)]가 존재해 각 [math(i)]에 대해 [math(A\cap S_i)]는 단원집합이다.
* 집합 [math(A)]가 주어졌을 때, 함수 [math(r: \mathcal{P}(A)-\{\varnothing\}\to A)]가 존재해 [math(r(x)\in x)]를 만족한다.

특히, 두 번째 정의에서 등장하는 함수 [math(r)]을 선택함수라 부르기도 한다.

== 선택공리와 동치인 명제들 ==
체르멜로-프렌켈 집합론 위에서 다음 명제들은 선택공리와 동치이다:
* [[공집합을 포함하지 않는 임의의 집합족의 곱집합은 공집합이 아니다]].
* 하우스도르프 극대원리(Hausdorff maximality principle)
* 쾨니히의 정리 (König's theorem)
* 초른의 보조정리 (Zorn's lemma)
* 티호노프의 정리 (Tychonoff's theorem) : 임의의 컴팩트 공간의 곱 또한 컴팩트하다.
* [[임의의 벡터 공간은 기저를 갖는다]].
* [[임의의 집합에 군 구조를 줄 수 있다]].
* 정렬가능성 정리 (Well-ordering Theorem) : 임의의 집합은 잘 정렬된(Well-ordered) 집합이 될 수 있다.
* 임의의 자유 아벨군의 모든 기저의 차수는 같다.
* 임의의 집합 [math(A)]에 대해 [math(|A|=|A|^2)]이다.

== 선택공리보다 약한 명제들 ==
다음 명제들은 ZF만으로는 증명 불가능하지만, 선택공리와 동치는 아니다.
* [[불 소 아이디얼 정리]]
* Ultrafilter의 존재성
* [[가산 선택공리]]와 종속 선택공리
* [[비가측 집합]]의 존재성
* 임의의 [[체]]는 대수적 폐포를 갖는다.
* 임의의 티호노프 공간은 Stone–Čech Compactification을 갖는다.
* 비가산 이론의 [[괴델의 완전성 정리]]

== 선택공리의 부정 ==
다음 명제들은 선택공리의 부정을 이끌어낸다:
* [[결정공리]]
* 모든 실수의 부분집합은 베르 성질을 갖는다.
* 모든 실수의 부분집합은 르벡 가측이다.
* 모든 실수의 부분집합은 완전집합 성질을 가진다.
* 무한 데데킨트 유한집합의 존재성.

== 독립성 ==
ZF가 일관되어 있음을 가정하면, 선택공리가 다른 ZF의 공리들로부터 독립임을 보일 수 있다. 괴델은 ZF가 일관되었다면, ZF는 ZFC의 내부 모형인 [[구성가능한 우주]] [math(L)]이 존재함을 보였다. 폴 코헨은 강제법을 이용해서 ZF￢C의 모형을 구성하였다. 이 두 결과로부터 선택공리가 다른 ZF 공리들과 독립임을 확인할 수 있다.

== 선택공리와 구성주의 ==
선택공리는 선택함수의 존재성만을 보장해주는 공리일 뿐, 선택함수를 어떻게 구성하는지 알려주는 공리는 아니다. 따라서, 선택공리에 의해 존재성이 보장되는 대상은 대부분 그 형태를 직접 '볼 수' 없는 경우가 대부분이다.

흥미롭게도, Diaconescu's theorem에 따르면 선택공리를 가정하면 배중률이 이끌어내어진다.

== 영상 ==
[youtube(31OKHzvXfv8)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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