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Axiom of choice, AC
임의의 집합족 의 각 집합에서 원소 를 하나씩 뽑아서 집합 을 새로 구성할 수 있다는 내용의 공리이다.
1. 정의 ✎ ⊖
일반적으로 다음과 같은 정의들 중 하나가 채택되고, 이들은 동치이다.
특히, 두 번째 정의에서 등장하는 함수 을 선택함수라 부르기도 한다.
- 가 집합족이라 하자. 이 때 집합 가 존재해 각 에 대해 는 단원집합이다.
- 집합 가 주어졌을 때, 함수 가 존재해 를 만족한다.
특히, 두 번째 정의에서 등장하는 함수 을 선택함수라 부르기도 한다.
2. 선택공리와 동치인 명제들 ✎ ⊖
체르멜로-프렌켈 집합론 위에서 다음 명제들은 선택공리와 동치이다:
- 공집합을 포함하지 않는 임의의 집합족의 곱집합은 공집합이 아니다.
- 하우스도르프 극대원리(Hausdorff maximality principle)
- 쾨니히의 정리 (König's theorem)
- 초른의 보조정리 (Zorn's lemma)
- 티호노프의 정리 (Tychonoff's theorem) : 임의의 컴팩트 공간의 곱 또한 컴팩트하다.
- 임의의 벡터 공간은 기저를 갖는다.
- 임의의 집합에 군 구조를 줄 수 있다.
- 정렬가능성 정리 (Well-ordering Theorem) : 임의의 집합은 잘 정렬된(Well-ordered) 집합이 될 수 있다.
- 임의의 자유 아벨군의 모든 기저의 차수는 같다.
- 임의의 집합 에 대해 이다.
3. 선택공리보다 약한 명제들 ✎ ⊖
다음 명제들은 ZF만으로는 증명 불가능하지만, 선택공리와 동치는 아니다.
- 불 소 아이디얼 정리
- Ultrafilter의 존재성
- 가산 선택공리와 종속 선택공리
- 비가측 집합의 존재성
- 임의의 체는 대수적 폐포를 갖는다.
- 임의의 티호노프 공간은 Stone–Čech Compactification을 갖는다.
- 비가산 이론의 괴델의 완전성 정리
4. 선택공리의 부정 ✎ ⊖
다음 명제들은 선택공리의 부정을 이끌어낸다:
- 결정공리
- 모든 실수의 부분집합은 베르 성질을 갖는다.
- 모든 실수의 부분집합은 르벡 가측이다.
- 모든 실수의 부분집합은 완전집합 성질을 가진다.
- 무한 데데킨트 유한집합의 존재성.
5. 독립성 ✎ ⊖
ZF가 일관되어 있음을 가정하면, 선택공리가 다른 ZF의 공리들로부터 독립임을 보일 수 있다. 괴델은 ZF가 일관되었다면, ZF는 ZFC의 내부 모형인 구성가능한 우주 이 존재함을 보였다. 폴 코헨은 강제법을 이용해서 ZF¬C의 모형을 구성하였다. 이 두 결과로부터 선택공리가 다른 ZF 공리들과 독립임을 확인할 수 있다.
6. 선택공리와 구성주의 ✎ ⊖
선택공리는 선택함수의 존재성만을 보장해주는 공리일 뿐, 선택함수를 어떻게 구성하는지 알려주는 공리는 아니다. 따라서, 선택공리에 의해 존재성이 보장되는 대상은 대부분 그 형태를 직접 '볼 수' 없는 경우가 대부분이다.
흥미롭게도, Diaconescu's theorem에 따르면 선택공리를 가정하면 배중률이 이끌어내어진다.
흥미롭게도, Diaconescu's theorem에 따르면 선택공리를 가정하면 배중률이 이끌어내어진다.