선택공리

최근 수정 시각 : 2023-05-16 23:21:19 | 조회수 : 29

Axiom of choice, AC

임의의 집합족 {Si}iI\{S_i\}_{i\in I}의 각 집합에서 원소 xix_i를 하나씩 뽑아서 집합 {xi:iI}\{x_i:i\in I\}을 새로 구성할 수 있다는 내용의 공리이다.

목차

1. 정의
2. 선택공리와 동치인 명제들
3. 선택공리보다 약한 명제들
4. 선택공리의 부정
5. 독립성
6. 선택공리와 구성주의
7. 영상

1. 정의

일반적으로 다음과 같은 정의들 중 하나가 채택되고, 이들은 동치이다.
  • {Si}iI\{S_i\}_{i\in I}가 집합족이라 하자. 이 때 집합 AA가 존재해 각 ii에 대해 ASiA\cap S_i는 단원집합이다.
  • 집합 AA가 주어졌을 때, 함수 r:P(A){}Ar: \mathcal{P}(A)-\{\varnothing\}\to A가 존재해 r(x)xr(x)\in x를 만족한다.

특히, 두 번째 정의에서 등장하는 함수 rr을 선택함수라 부르기도 한다.

2. 선택공리와 동치인 명제들

체르멜로-프렌켈 집합론 위에서 다음 명제들은 선택공리와 동치이다:

3. 선택공리보다 약한 명제들

다음 명제들은 ZF만으로는 증명 불가능하지만, 선택공리와 동치는 아니다.

4. 선택공리의 부정

다음 명제들은 선택공리의 부정을 이끌어낸다:
  • 결정공리
  • 모든 실수의 부분집합은 베르 성질을 갖는다.
  • 모든 실수의 부분집합은 르벡 가측이다.
  • 모든 실수의 부분집합은 완전집합 성질을 가진다.
  • 무한 데데킨트 유한집합의 존재성.

5. 독립성

ZF가 일관되어 있음을 가정하면, 선택공리가 다른 ZF의 공리들로부터 독립임을 보일 수 있다. 괴델은 ZF가 일관되었다면, ZF는 ZFC의 내부 모형인 구성가능한 우주 LL이 존재함을 보였다. 폴 코헨은 강제법을 이용해서 ZF¬C의 모형을 구성하였다. 이 두 결과로부터 선택공리가 다른 ZF 공리들과 독립임을 확인할 수 있다.

6. 선택공리와 구성주의

선택공리는 선택함수의 존재성만을 보장해주는 공리일 뿐, 선택함수를 어떻게 구성하는지 알려주는 공리는 아니다. 따라서, 선택공리에 의해 존재성이 보장되는 대상은 대부분 그 형태를 직접 '볼 수' 없는 경우가 대부분이다.

흥미롭게도, Diaconescu's theorem에 따르면 선택공리를 가정하면 배중률이 이끌어내어진다.

7. 영상



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