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Gödel's completeness theorem
수리논리학의 기초적인 정리 중 하나이다.
1. 역사 ✎ ⊖
이 정리는 괴델이 1931년에 출판한 논문집에 실려 있는데, 괴델이 처음 증명한 명제는 가산 언어에 대한 증명이였다. 1949년에 레온 헨킨(Leon Henkin)이 임의의 농도를 갖는 언어로 쉽게 일반화할 수 있는 증명을 내 놓았다.
2. 진술 ✎ ⊖
다음 두 가지 형태가 존재한다.
위에서 일차 가산 언어를 보다 일반적으로 일차 정렬 가능한 언어로 일반화시킬 수 있다.
- 어떤 일차 가산 언어 위의 문장들의 집합 \\Gamma에 대해 \\Gamma\\models\\phi이면 \\Gamma\\vdash\\phi이다.
- 어떤 일차 가산 언어 위의 무모순한 문장들의 집합이 주어졌을 때, 그 문장들을 충족시키는 모형이 존재한다.
위에서 일차 가산 언어를 보다 일반적으로 일차 정렬 가능한 언어로 일반화시킬 수 있다.
3. 다른 명제들간의 관계 ✎ ⊖
완전성 정리는 컴팩트성 정리와 동치이며, 비가산의 경우로 일반화된 완전성 정리는 불 소 아이디얼 정리와 동치이다. 그리고 가산 언어에 대한 완전성 정리는 약한 쾨니히의 정리를 요구한다. 따라서 괴델의 완전성 정리는 구성적이지 않다.
4. 참고문헌 ✎ ⊖
- Herbert B. Enderton (2001), A Mathematical Introduction to Logic 2nd, Harcourt/Academic Press.
