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기저를 갖는다고 한다.
1. 진술 ✎ ⊖
2. 증명 ✎ ⊖
F 위의 모든 선형 독립인 집합들의 집합을 S라 하자. 이 때 S는 포함관계 ⊂에 의해 반순서집합이 된다. 이제 \\{T_\\alpha\\}_{\\alpha\\in I}를 S 위의 사슬 (i.e. \\{T_\\alpha\\}_{\\alpha\\in I}는 포함관계에 의해 전순서집합이 된다.) 이라 하자. 이제
T=\\bigcup_{\\alpha\\in I} T_\\alpha
으로 둔다. 만약 v_1,v_2,\\cdots,v_n \\in T_\\alpha이면 각 i=1,2,\\cdots,n에 대해 어떤 Tαi가 존재해 v_i\\in T_{\\alpha_i}이다. 이 때 T_\\alpha들의 집합은 포함관계에 의해 정렬되므로, T_{\\alpha_1},\\cdots,T_{\\alpha_n} 중에서 포함관계에 의해 최대가 되는 집합이 있다. 이를 T_{\\alpha_k}라 하면 v_1,v_2,\\cdots,v_n\\in T_{\\alpha_k}이고 T_{\\alpha_k}는 선형 독립이므로
c_1v_1+c_2v_2+\\cdots+c_nv_n=0 \\qquad \\Longrightarrow \\qquad c_1=c_2=\\cdots=c_n=0
이다. 따라서 T도 선형 독립이고, 특히 T는 \\{T_\\alpha\\}_{\\alpha\\in I}의 극대원이 된다.
따라서 초른의 보조정리에 의해 모든 선형 독립인 집합 중 (포함관계에 의해) 최대인 집합 S가 존재한다. 이제 S가 기저임을 보이자. 만약 S가 기저가 아니면, S에 의해 생성되지 않는 V의 원소 v가 존재한다. 이 때S\\cup\\{v\\} 또한 선형 독립인 집합이 된다. 그런데 S가 최대란 가정에 의해 S\\cup\\{v\\}\\subset S이고, 따라서 S\\cup\\{v\\}=S이다. 즉 v는 S의 원소이다. 하지만 이는 v가 S에 의해 생성되지 않는다는 데에 모순이다. 따라서 S는 기저이다.
T=\\bigcup_{\\alpha\\in I} T_\\alpha
으로 둔다. 만약 v_1,v_2,\\cdots,v_n \\in T_\\alpha이면 각 i=1,2,\\cdots,n에 대해 어떤 Tαi가 존재해 v_i\\in T_{\\alpha_i}이다. 이 때 T_\\alpha들의 집합은 포함관계에 의해 정렬되므로, T_{\\alpha_1},\\cdots,T_{\\alpha_n} 중에서 포함관계에 의해 최대가 되는 집합이 있다. 이를 T_{\\alpha_k}라 하면 v_1,v_2,\\cdots,v_n\\in T_{\\alpha_k}이고 T_{\\alpha_k}는 선형 독립이므로
c_1v_1+c_2v_2+\\cdots+c_nv_n=0 \\qquad \\Longrightarrow \\qquad c_1=c_2=\\cdots=c_n=0
이다. 따라서 T도 선형 독립이고, 특히 T는 \\{T_\\alpha\\}_{\\alpha\\in I}의 극대원이 된다.
따라서 초른의 보조정리에 의해 모든 선형 독립인 집합 중 (포함관계에 의해) 최대인 집합 S가 존재한다. 이제 S가 기저임을 보이자. 만약 S가 기저가 아니면, S에 의해 생성되지 않는 V의 원소 v가 존재한다. 이 때S\\cup\\{v\\} 또한 선형 독립인 집합이 된다. 그런데 S가 최대란 가정에 의해 S\\cup\\{v\\}\\subset S이고, 따라서 S\\cup\\{v\\}=S이다. 즉 v는 S의 원소이다. 하지만 이는 v가 S에 의해 생성되지 않는다는 데에 모순이다. 따라서 S는 기저이다.
3. 선택공리와의 관계 ✎ ⊖
위의 증명을 보면, 선택공리와 동치인 초른의 보조정리가 쓰였음을 알 수 있다. 사실, 이 명제는 선택공리와 동치이다.(1)
4. 참고문헌 ✎ ⊖
- Andy Soffer, Every vector space has a basis. September 24, 2011. Retrived April 16, 2013, from Every vector space has a basis
