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벡터 공간(Vector Space)은 물리학에서의 벡터의 집합을 일반화한 것으로, 수학 전반에서 중요하게 다뤄지는 구조이다.
1. 정의 ✎ ⊖
체 F와 집합 V에 대해 다음 연산이 정의되었다고 하자.
이 때 \\mathbf x, \\mathbf y, \\mathbf z \\in V와 a, b \\in F에 대하여 아래의 성질을 만족하면 V를 체 F 위의 벡터 공간이라고 한다.
위의 성질들을 벡터 공간의 '공리'라고 하고, F의 원소들을 '스칼라', V의 원소들을 '벡터'라고 부른다.
- 벡터 덧셈: \\mathbf x, \\mathbf y \\in V에 대해 \\mathbf x+\\mathbf y \\in V
- 스칼라 곱: \\mathbf x \\in V, a\\in F에 대해 a\\mathbf x \\in V
이 때 \\mathbf x, \\mathbf y, \\mathbf z \\in V와 a, b \\in F에 대하여 아래의 성질을 만족하면 V를 체 F 위의 벡터 공간이라고 한다.
| 덧셈에 대한 결합법칙 | (\\mathbf x+\\mathbf y)+\\mathbf z=\\mathbf x+(\\mathbf y+\\mathbf z) |
| 덧셈에 대한 교환법칙 | \\mathbf x+\\mathbf y=\\mathbf y+\\mathbf x |
| 덧셈에 대한 항등원 | \\forall \\mathbf x \\in V,\\; \\exists \\mathbf 0\\in V\\; s.t. \\; \\mathbf x+\\mathbf 0=\\mathbf 0+\\mathbf x=\\mathbf x |
| 덧셈에 대한 역원 | \\forall \\mathbf x \\in V,\\; \\exists (\\mathbf {-x})\\in V\\; s.t. \\; \\mathbf x+(\\mathbf {-x})=(\\mathbf {-x})+\\mathbf x=\\mathbf 0 |
| 스칼라 곱에 대한 결합법칙 | (ab)\\mathbf x=a(b\\mathbf x) |
| 스칼라 곱에 대한 항등원 | 1\\cdot \\mathbf x=\\mathbf x |
| 벡터 덧셈에 대한 분배법칙 | a(\\mathbf x+\\mathbf y)=a\\mathbf x+a\\mathbf y |
| 스칼라 덧셈에 대한 분배법칙 | (a+b)\\mathbf x=a\\mathbf x+b\\mathbf x |
위의 성질들을 벡터 공간의 '공리'라고 하고, F의 원소들을 '스칼라', V의 원소들을 '벡터'라고 부른다.
2. 부분공간 ✎ ⊖
벡터공간 V의 부분집합 W에 대해
1. O\\in W
2. \\forall \\mathbf x, \\mathbf y \\in V, \\mathbf x+\\mathbf y \\in W
3. \\forall a\\in F, \\forall \\mathbf x \\in V, a\\mathbf x\\in W
의 세 조건을 만족할 때 W를 V의 부분공간이라고 한다. 부분공간은 벡터공간이다.
1. O\\in W
2. \\forall \\mathbf x, \\mathbf y \\in V, \\mathbf x+\\mathbf y \\in W
3. \\forall a\\in F, \\forall \\mathbf x \\in V, a\\mathbf x\\in W
의 세 조건을 만족할 때 W를 V의 부분공간이라고 한다. 부분공간은 벡터공간이다.
2.1. 선형결합과 선형독립 ✎ ⊖
벡터공간 V의 원소들 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n에 대해 a_1\\mathbf x_1+a_2\\mathbf x_2+\\cdots+a_n\\mathbf x_n(a_1, a_2 ,\\cdots ,a_n\\in F)꼴의 합을 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n의 선형결합혹은 일차결합(linear combination)이라고 한다.
a_1\\mathbf x_1+a_2\\mathbf x_2+\\cdots+a_n\\mathbf x_n=0\\Leftrightarrow a_1=a_2=\\cdots=a_n=0일 때, \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n는 '선형독립혹은 일차독립(linearly independent)이라고 한다. \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n가 일차독립이 아니면 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n는 선형종속혹은 '일차종속(linearly dependent)이라 한다.
a_1\\mathbf x_1+a_2\\mathbf x_2+\\cdots+a_n\\mathbf x_n=0\\Leftrightarrow a_1=a_2=\\cdots=a_n=0일 때, \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n는 '선형독립혹은 일차독립(linearly independent)이라고 한다. \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n가 일차독립이 아니면 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n는 선형종속혹은 '일차종속(linearly dependent)이라 한다.
3. 생성 ✎ ⊖
벡터공간 V의 원소들 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n의 선형결합으로 생성되는 V의 부분공간을 \\{\\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n\\}의 생성(span)이라한다. V의 부분공간 W의 임의의 원소가 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n의 선형결합으로 나타내어지고, \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n의 임의의 선형결합이 W에 속할 때, \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n는 W를 생성한다고 한다.
4. 기저 ✎ ⊖
벡터공간 V의 원소들 \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n이 선형독립이고 V를 생성할 때, \\mathbf x_1, \\mathbf x_2,\\cdots , \\mathbf x_n를 V의 기저(basis)라고 한다. 임의의 벡터 공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. V의 기저의 개수를 차원(dimension)이라 하고, \\dim V로 나타낸다.
5. 선형사상 ✎ ⊖
체 F에서 정의된 두 벡터공간 V, W에 대해 V에서 W로의 사상 중 합과 곱을 보존하는 사상을 선형사상(linear mapping)또는 선형변환(linear transformation)이라 한다. V에서 W로의 모든 선형 사상의 집합 역시 벡터공간을 이루며 이를 \\mathcal L (V, W)로 표시한다. 선형변환은 V의 기저들의 변환값에 의해 완전히 결정된다.
