벡터 공간 (편집) (1)

== 정의 ==
[[체]] [math(F)]와 집합 [math(V)]에 대해 다음 연산이 정의되었다고 하자.

* 벡터 덧셈: [math(\mathbf x, \mathbf y \in V)]에 대해 [math(\mathbf x+\mathbf y \in V)]
* 스칼라 곱: [math(\mathbf x \in V, a\in F)]에 대해 [math(a\mathbf x \in V)]

이 때 [math(\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z \in V)]와 [math(a, b \in F)]에 대하여 아래의 성질을 만족하면 [math(V)]를 체 [math(F)] 위의 벡터 공간이라고 한다.

|| 덧셈에 대한 결합법칙 || [math((\mathbf x+\mathbf y)+\mathbf z=\mathbf x+(\mathbf y+\mathbf z))] ||
|| 덧셈에 대한 교환법칙 || [math( \mathbf x+\mathbf y=\mathbf y+\mathbf x)] ||
|| 덧셈에 대한 항등원 || [math(\forall \mathbf x \in V,\;  \exists  \mathbf 0\in V\;  s.t. \;  \mathbf x+\mathbf 0=\mathbf 0+\mathbf x=\mathbf x)] ||
|| 덧셈에 대한 역원 || [math(\forall \mathbf x \in V,\;  \exists  (\mathbf {-x})\in V\;  s.t. \;  \mathbf x+(\mathbf {-x})=(\mathbf {-x})+\mathbf x=\mathbf 0)] ||
|| 스칼라 곱에 대한 결합법칙 || [math((ab)\mathbf x=a(b\mathbf x))] ||
|| 스칼라 곱에 대한 항등원 || [math(1\cdot \mathbf x=\mathbf x)] ||
|| 벡터 덧셈에 대한 분배법칙 || [math(a(\mathbf x+\mathbf y)=a\mathbf x+a\mathbf y)] ||
|| 스칼라 덧셈에 대한 분배법칙 || [math((a+b)\mathbf x=a\mathbf x+b\mathbf x)] ||

위의 성질들을 벡터 공간의 '공리'라고 하고, [math(F)]의 원소들을 '스칼라', [math(V)]의 원소들을 '벡터'라고 부른다.

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== 정의 ==
[[체]] [math(F)]와 집합 [math(V)]에 대해 다음 연산이 정의되었다고 하자.

* 벡터 덧셈: [math(\mathbf x, \mathbf y \in V)]에 대해 [math(\mathbf x+\mathbf y \in V)]
* 스칼라 곱: [math(\mathbf x \in V, a\in F)]에 대해 [math(a\mathbf x \in V)]

이 때 [math(\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z \in V)]와 [math(a, b \in F)]에 대하여 아래의 성질을 만족하면 [math(V)]를 체 [math(F)] 위의 벡터 공간이라고 한다.

위의 성질들을 벡터 공간의 '공리'라고 하고, [math(F)]의 원소들을 '스칼라', [math(V)]의 원소들을 '벡터'라고 부른다.

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