임의의 벡터 공간은 기저를 갖는다 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
기저를 갖는다고 한다.

== 진술 ==
[math(F)]가 [[체]]이고 [math(V)]가 그 위에서 정의되는 [[벡터 공간]]이라 하자. 이 때 [math(V)]는 기저를 갖는다.

== 증명 ==
[math(F)] 위의 모든 선형 독립인 집합들의 집합을 [math(S)]라 하자. 이 때 [math(S)]는 포함관계 [math(⊂)]에 의해 반순서집합이 된다. 이제 [math(\{T_\alpha\}_{\alpha\in I})]를 [math(S)] 위의 사슬 (i.e. [math(\{T_\alpha\}_{\alpha\in I})]는 포함관계에 의해 전순서집합이 된다.) 이라 하자. 이제

[math(T=\bigcup_{\alpha\in I} T_\alpha)]

으로 둔다. 만약 [math(v_1,v_2,\cdots,v_n \in T_\alpha)]이면 각 [math(i=1,2,\cdots,n)]에 대해 어떤 [math(Tαi)]가 존재해 [math(v_i\in T_{\alpha_i})]이다. 이 때 [math(T_\alpha)]들의 집합은 포함관계에 의해 정렬되므로, [math(T_{\alpha_1},\cdots,T_{\alpha_n})] 중에서 포함관계에 의해 최대가 되는 집합이 있다. 이를 [math(T_{\alpha_k})]라 하면 [math(v_1,v_2,\cdots,v_n\in T_{\alpha_k})]이고 [math(T_{\alpha_k})]는 선형 독립이므로

[math(c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_nv_n=0 \qquad \Longrightarrow \qquad c_1=c_2=\cdots=c_n=0)]

이다. 따라서 [math(T)]도 선형 독립이고, 특히 [math(T)]는 [math(\{T_\alpha\}_{\alpha\in I})]의 극대원이 된다.

따라서 초른의 보조정리에 의해 모든 선형 독립인 집합 중 (포함관계에 의해) 최대인 집합 [math(S)]가 존재한다. 이제 [math(S)]가 기저임을 보이자. 만약 [math(S)]가 기저가 아니면, [math(S)]에 의해 생성되지 않는 [math(V)]의 원소 [math(v)]가 존재한다. 이 때[math(S\cup\{v\})] 또한 선형 독립인 집합이 된다. 그런데 [math(S)]가 최대란 가정에 의해 [math(S\cup\{v\}\subset S)]이고, 따라서 [math(S\cup\{v\}=S)]이다. 즉 [math(v)]는 [math(S)]의 원소이다. 하지만 이는 [math(v)]가 [math(S)]에 의해 생성되지 않는다는 데에 모순이다. 따라서 [math(S)]는 기저이다.

== 선택공리와의 관계 ==
위의 증명을 보면, 선택공리와 동치인 초른의 보조정리가 쓰였음을 알 수 있다. 사실, 이 명제는 선택공리와 동치이다.[* [[http://www.ams.org/journals/proc/1996-124-08/S0002-9939-96-03305-9/S0002-9939-96-03305-9.pdf|BASES FOR VECTOR SPACES OVER THE TWO-ELEMENT FIELD AND THE AXIOM OF CHOIC]]]

== 참고문헌 ==
* Andy Soffer, Every vector space has a basis. September 24, 2011. Retrived April 16, 2013, from [[https://soffer801.wordpress.com/2011/09/24/every-vector-space-has-a-basis/|Every vector space has a basis]]

== 영상 ==
[youtube(707-NdTD_O4)]

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160323012514/http://mathwiki.net/%EC%9E%84%EC%9D%98%EC%9D%98_%EB%B2%A1%ED%84%B0_%EA%B3%B5%EA%B0%84%EC%9D%80_%EA%B8%B0%EC%A0%80%EB%A5%BC_%EA%B0%96%EB%8A%94%EB%8B%A4|링크]])]

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