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1. 진술 ✎ ⊖
2. 증명 ✎ ⊖
X가 유한집합일 때는 자명하다. 이제 X가 무한집합이라 하자. 우리들은 X와 농도가 같은 군 G를 찾으면 된다. (만약 그러한 군이 존재함이 보여진다면, X에서 G로 가는 전단사를 써서 X 위의 적절한 연산을 정의해서 X를 군으로 만들 수 있다.) 칸토르의 정리에 의해 |A|\\le 2^{|A|}임을 알 수 있다. 이제 A를 (\\Bbb{Z}/2\\Bbb{Z})^A의 부분집합으로 간주하자. 이 때 A에 의해 생성되는 (\\Bbb{Z}/2\\Bbb{Z})^A의 부분군 G를 찾을 수 있다. 이 때 |G|=|A|이다.
위 증명은 선택공리를 요구한다. 정확히는, |G|=|A|임을 증명하는 데 선택공리가 필요하다.
위 증명은 선택공리를 요구한다. 정확히는, |G|=|A|임을 증명하는 데 선택공리가 필요하다.
3. 선택공리와의 관계 ✎ ⊖
임의의 집합을 군으로 만들 수 있다는 명제는 선택공리와 동치임이 알려져 있다.
3.1. 증명 ✎ ⊖
X가 집합이라 하자. 이 때 X의 하르톡스 수 ℵ(X)를 고려하자. 일반성을 잃지 않고 X∩ℵ(X)=∅이라 하자. 임의의 집합을 군으로 만들 수 있음을 가정했으므로, X∪ℵ(X) 위의 이항연산 ∗가 존재해 X∪ℵ(X)이 군이 된다.
이제 임의의 x∈X에 대해 어떤 α∈ℵ(X)가 존재해 x∗a∈ℵ(X)임을 보이자. 만약 어떤 x∈X가 존재해 주어진 명제를 만족하지 않는다고 가정하면 α↦x∗α는 ℵ(X)에서 X로 가는 단사함수가 된다. (주어진 함수가 단사라는 것은 ∗가 군 연산이여서 역원을 갖는다는 데서 기인한다.) 그런데 이는 ℵ(X)가 하르톡스 수란 데서 모순이다.
이제 β_x를 xα∈ℵ(X)인 α 중 최소인 α라 하자. 이 때 ϕ:X→(ℵ(X))^2, ϕ(x)=(β_x,x∗β_x)라는 함수를 생각하자. 이 때 β_x=β_y, β_x∗x=β_y∗y이면 x=y이므로 ϕ는 단사임을 알 수 있다. 그런데 (ℵ(X))^2는 정렬 가능하다. 따라서 X는 정렬 가능한 집합의 부분집합과 농도가 같고, 이를 이용해서 X의 정렬순서를 정의할 수 있다. 따라서 임의의 집합의 정렬 가능성이 보여졌다.
이제 임의의 x∈X에 대해 어떤 α∈ℵ(X)가 존재해 x∗a∈ℵ(X)임을 보이자. 만약 어떤 x∈X가 존재해 주어진 명제를 만족하지 않는다고 가정하면 α↦x∗α는 ℵ(X)에서 X로 가는 단사함수가 된다. (주어진 함수가 단사라는 것은 ∗가 군 연산이여서 역원을 갖는다는 데서 기인한다.) 그런데 이는 ℵ(X)가 하르톡스 수란 데서 모순이다.
이제 β_x를 xα∈ℵ(X)인 α 중 최소인 α라 하자. 이 때 ϕ:X→(ℵ(X))^2, ϕ(x)=(β_x,x∗β_x)라는 함수를 생각하자. 이 때 β_x=β_y, β_x∗x=β_y∗y이면 x=y이므로 ϕ는 단사임을 알 수 있다. 그런데 (ℵ(X))^2는 정렬 가능하다. 따라서 X는 정렬 가능한 집합의 부분집합과 농도가 같고, 이를 이용해서 X의 정렬순서를 정의할 수 있다. 따라서 임의의 집합의 정렬 가능성이 보여졌다.
