최근 편집
최근 토론
게시판 메인
도구
투표
무작위 문서
스킨 설정
파일 올리기
기타 도구
216.73.216.27
IP
사용자 도구
사용자 설정
로그인
회원 가입
최근 편집
최근 토론
돌아가기
삭제
이동
파일 올리기
임의의 집합에 군 구조를 줄 수 있다
(편집) (4)
(편집 필터 규칙)
657,1444
=== 증명 === [math(X)]가 집합이라 하자. 이 때 [math(X)]의 하르톡스 수 [math(ℵ(X))]를 고려하자. 일반성을 잃지 않고 [math(X∩ℵ(X)=∅)]이라 하자. 임의의 집합을 군으로 만들 수 있음을 가정했으므로, [math(X∪ℵ(X))] 위의 이항연산 [math(∗)]가 존재해 [math(X∪ℵ(X))]이 군이 된다. 이제 임의의 [math(x∈X)]에 대해 어떤 [math(α∈ℵ(X))]가 존재해 [math(x∗a∈ℵ(X))]임을 보이자. 만약 어떤 [math(x∈X)]가 존재해 주어진 명제를 만족하지 않는다고 가정하면 [math(α↦x∗α)]는 [math(ℵ(X))]에서 [math(X)]로 가는 단사함수가 된다. (주어진 함수가 단사라는 것은 [math(∗)]가 군 연산이여서 역원을 갖는다는 데서 기인한다.) 그런데 이는 [math(ℵ(X))]가 하르톡스 수란 데서 모순이다. 이제 [math(β_x)]를 [math(xα∈ℵ(X))]인 [math(α)] 중 최소인 [math(α)]라 하자. 이 때[math( ϕ:X→(ℵ(X))^2, ϕ(x)=(β_x,x∗β_x))]라는 함수를 생각하자. 이 때 [math(β_x=β_y, β_x∗x=β_y∗y)]이면 [math(x=y)]이므로 [math(ϕ)]는 단사임을 알 수 있다. 그런데 [math((ℵ(X))^2)]는 정렬 가능하다. 따라서 [math(X)]는 정렬 가능한 집합의 부분집합과 농도가 같고, 이를 이용해서 [math(X)]의 정렬순서를 정의할 수 있다. 따라서 임의의 집합의 정렬 가능성이 보여졌다.
(임시 저장)
(임시 저장 불러오기)
기본값
모나코 에디터
normal
namumark
namumark_beta
macromark
markdown
custom
raw
(↪️)
(💎)
(🛠️)
(추가)
=== 증명 === [math(X)]가 집합이라 하자. 이 때 [math(X)]의 하르톡스 수 [math(ℵ(X))]를 고려하자. 일반성을 잃지 않고 [math(X∩ℵ(X)=∅)]이라 하자. 임의의 집합을 군으로 만들 수 있음을 가정했으므로, [math(X∪ℵ(X))] 위의 이항연산 [math(∗)]가 존재해 [math(X∪ℵ(X))]이 군이 된다. 이제 임의의 [math(x∈X)]에 대해 어떤 [math(α∈ℵ(X))]가 존재해 [math(x∗a∈ℵ(X))]임을 보이자. 만약 어떤 [math(x∈X)]가 존재해 주어진 명제를 만족하지 않는다고 가정하면 [math(α↦x∗α)]는 [math(ℵ(X))]에서 [math(X)]로 가는 단사함수가 된다. (주어진 함수가 단사라는 것은 [math(∗)]가 군 연산이여서 역원을 갖는다는 데서 기인한다.) 그런데 이는 [math(ℵ(X))]가 하르톡스 수란 데서 모순이다. 이제 [math(β_x)]를 [math(xα∈ℵ(X))]인 [math(α)] 중 최소인 [math(α)]라 하자. 이 때[math( ϕ:X→(ℵ(X))^2, ϕ(x)=(β_x,x∗β_x))]라는 함수를 생각하자. 이 때 [math(β_x=β_y, β_x∗x=β_y∗y)]이면 [math(x=y)]이므로 [math(ϕ)]는 단사임을 알 수 있다. 그런데 [math((ℵ(X))^2)]는 정렬 가능하다. 따라서 [math(X)]는 정렬 가능한 집합의 부분집합과 농도가 같고, 이를 이용해서 [math(X)]의 정렬순서를 정의할 수 있다. 따라서 임의의 집합의 정렬 가능성이 보여졌다.
비로그인 상태입니다. 편집한 내용을 저장하면 지금 접속한 IP가 기록됩니다.
편집을 전송하면 당신은 이 문서의 기여자로서 본인이 작성한 내용이
CC BY 4.0
에 따라 배포되고, 기여한 문서의 하이퍼링크나 URL로 저작자 표시가 충분하다는 것에 동의하는 것입니다.
전송
미리보기
