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Boolean prime ideal theorem, BPI, BPIT
불 대수와 관련된 명제 중 하나이다.
1. 진술 ✎ ⊖
불 소 아이디얼 정리는 다음 명제를 가리킨다.
B가 불 대수라 하고 I를 그 위의 아이디얼이라 하고 F를 I와 서로소인 필터라 하자.
이 때 I를 포함하면서 F와 서로소인 B 위의 소 아이디얼 P가 존재한다.
여기서 P가 소 아이디얼이란 것은 P가 아이디얼이면서 a\\cdot b\\in P일 때 a\\in P 혹은 b\\in P란 것이다.
2. 증명 ✎ ⊖
\\mathcal{I}를 I를 포함하며 F와 서로소인 아이디얼들의 집합이라 하자. 이 때 \\mathcal{C}\\subset \\mathcal{I}가 사슬이라면, \\bigcup\\mathcal{C} 또한 \\mathcal{I}의 원소가 됨을 보일 수 있다. 따라서 초른의 보조정리에 의해, \\mathcal{I}는 극대원을 갖는다. 이를 M이라 하자.
이제 ab\\in M이라 하자. 만약 a와 b 둘 다 M의 원소가 아니면, \\{a\\}\\cup M은 주어진 불 대수 자기 자신이 아닌 아이디얼을 생성한다. 만약 그렇지 않다면, 어느 m\\in M이 있어 a+m=1이고 따라서 ab+mb=b, 그리고 b-mb=ab-mb\\le ab이므로 b-mb\\in M이다. 그런데 mb\\le m이여서 mb\\in M이므로, b=mb+(b-mb)\\in M이다. 이는 모순이다.
불 소 아이디얼의 증명은 선택공리에 의존한다. 또한, 선택공리가 없으면 불 소 아이디얼 정리를 증명할 수 없다. 하지만 BPI만으로는 ZF 위에서 선택공리를 증명하기에 충분치 않다.
이제 ab\\in M이라 하자. 만약 a와 b 둘 다 M의 원소가 아니면, \\{a\\}\\cup M은 주어진 불 대수 자기 자신이 아닌 아이디얼을 생성한다. 만약 그렇지 않다면, 어느 m\\in M이 있어 a+m=1이고 따라서 ab+mb=b, 그리고 b-mb=ab-mb\\le ab이므로 b-mb\\in M이다. 그런데 mb\\le m이여서 mb\\in M이므로, b=mb+(b-mb)\\in M이다. 이는 모순이다.
불 소 아이디얼의 증명은 선택공리에 의존한다. 또한, 선택공리가 없으면 불 소 아이디얼 정리를 증명할 수 없다. 하지만 BPI만으로는 ZF 위에서 선택공리를 증명하기에 충분치 않다.
3. 동치인 명제들 ✎ ⊖
불 소 아이디얼은 다음 명제들과 동치이다.
- 임의의 불 대수는 소 아이디얼을 가진다.
- 임의의 불 대수 위의 필터는 초필터로 확대된다.
- 임의의 환의 아이디얼은 소 아이디얼로 확대된다.
- 하우스도르프 공간에 대한 티호노프 정리.
