세 제곱수의 합 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
Sum of three squares

이 문서는 세 제곱수의 합에 대한 [[카를 프리드리히 가우스]]의 정리에 대해 서술하고 있다.

== 진술 ==
자연수 [math(N)]이 [math(4^n(8m+7)\ (m,n \in \Bbb N_0))] 꼴이 아닌 것과 세 제곱수의 합으로 표현할 수 있는 것은 동치이다.

== 증명 ==
=== 불가능한 경우 ===
우선 [math(4^n(8m+7)\ (m,n \in \Bbb N_0))] 꼴의 자연수가 세 제곱수의 합으로 표현할 수 없음을 보이자.

만약 가능하다면, [math(4^n(8m+7)=x_1^2+x_2^2+x_3^2)]인 음이 아닌 정수 [math(x_1,x_2,x_3)]가 존재한다. [math(n \geq 1)]이면 [math(4 \mid x_1^2+x_2^2+x_3^2)]이므로 [math(x_1,x_2,x_3)]가 모두 짝수일 수 밖에 없다. 따라서 음이 아닌 정수 [math(\frac{x_1}{2},\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{2})]에 대해
>[math(4^{n-1}(8m+7)=\left(\frac{x_1}{2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{2}\right)^2+\left(\frac{x_3}{2}\right)^2)]
가 성립한다.

이와 같은 논리로 [math(8m+7=y_1^2+y_2^2+y_3^2)]인 음이 아닌 정수 [math(y_1,y_2,y_3)]를 찾을 수 있는데, 항상 [math(y_1^2+y_2^2+y_3^2 \not\equiv 7 \pmod 8)]이므로 이는 모순이다. 따라서 [math(4^n(8m+7)\ (m,n \in \Bbb N_0))] 꼴의 자연수가 세 제곱수의 합으로 표현할 수 없다.

이제 다른 경우에는 항상 세 제곱수의 합으로 표현할 수 있음을 보이자.

== 이차형식 ==
이 문단은 본 증명에 사용되는 정수 계수 이차형식의 성질에 대해 설명하고 있습니다. 아래에 언급되는 모든 행렬은 정수 계수입니다.

=== 행렬의 집합과 동치관계 ===
정수 계수 [math(n \times n)] 행렬들을 생각하자. 이 때 이 행렬들의 집합 [math(M_n(\Bbb Z))]는 [[환]]이 되고, 행렬식이 1인 것만 모아 [math({SL}_n(\Bbb Z))]를 만들면 이 [[군]]은 [math(M_n(\Bbb Z))]에 다음과 같이 [[군의 작용|작용]]한다:
>[math(A \in M_n(\Bbb Z),\ U \in {SL}_n(\Bbb Z))]에 대해 [math(A \cdot U=U^T A U)]
이제 [math(A,B \in M_n(\Bbb Z))]가 [[동치관계]]일 조건, 즉 [math(A \sim B)]일 조건을 [math(A,B)]가 같은 궤도에 들어있을 때로 정의하자. 이것이 동치관계임은 쉽게 보일 수 있다.

=== 이차형식의 정의 ===
[math(n \times n)] 행렬 [math(A=(a_{i,j}))]에 대해, [math(A)]에 대응되는 '''이차형식'''(Quadratic form) [math(F_A)]를 다음과 같이 정의한다:
><math>F_A(x_1,\cdots,x_n):=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}x_ix_j</math>
예를 들면 [math(F_{I_n}(x_1,\cdots,x_n)=x_1^2+\cdots+x_n^2)]인 식이다.

만약 [math(n \times 1)] 벡터 [math(x)]를 다음과 같이 정의한다면,
><math>x:=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}</math>
이차형식 [math(F_A)]는 다음과 같이 쓸 수 있다:
><math>F_A(x)=x^TAx</math>
[math(F_A)]의 '''판별식'''(discriminant)은 [math(A)]의 행렬식으로 정의한다. 같은 동치류에 들어있는 이차형식은 판별식의 값이 같다.

크기가 같은 행렬 [math(A,B)]에 대해 [math(A \sim B)]일 때 [math(F_A \sim F_B)]로 정의한다. 이것이 동치관계임은 쉽게 보일 수 있다.

정수계수 열벡터 [math(x)]가 존재하여 정수 [math(N)]에 대해 [math(F_A(x)=N)]이 성립할 때, '''[math(F_A)]는 [math(N)]을 표현한다'''(represent)고 말한다.

[math(F_A \sim F_B)]이면 [math(A \sim B)]에서 [math(U \in SL(\Bbb Z))]가 존재하여 [math(B=U^TAU)]이므로
><math>F_B(x)=x^TBx=(Ux)^TA(Ux)=F_A(Ux)</math>
이다. 따라서 동치인 이차형식들은 표현할 수 있는 정수의 집합이 동일하다.

이차형식 [math(F_A)]가 모든 원소가 0인 열벡터 외의 다른 열벡터들에 대해 1 이상의 값을 가질 때, 이를 '''양의 정부호이차형식'''(positive-definite quadratic form)이라고 한다.

=== 이항이차형식의 성질 ===
변수가 두 개인 이차형식을 '''이항이차형식'''(Binary quadratic form)이라고 한다.

판별식이 1인 임의의 양의 정부호이항이차형식은 [math(F_{I_2}(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2)]와 동치관계가 된다. 이를 증명하자.

==== 보조정리 1 ====
[math(2 \times 2)] 대칭행렬 [math(A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{1,2} & a_{2,2} \end{pmatrix})]에 대응되는 이차형식 [math(F_A)]가 양의 정부호이차형식일 필요충분조건은 [math(a_{1,1} \geq 1)]이고 [math(d=\det(A)=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}^2 \geq 1)]인 것이다.

==== 보조정리 2 ====
판별식이 [math(d)]인 양의 정부호이차형식의 동치류는 [math(2|a_{1,2}| \leq a_{1,1} \leq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{d})]인 양의 정부호이차형식 [math(F_A(x_1,x_2)=a_{1,1}x_1^2+2a_{1,2}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2)]를 적어도 하나 가진다.

==== 본 증명 ====
[math(F)]가 판별식이 1인 양의 정부호이항이차형식이라고 하자. 보조정리 2에 의해 [math(F)]와 동치인 형식 [math(a_{1,1}x_1^2+2a_{1,1}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2)]가 존재하여
><math>2|a_{1,2}| \leq a_{1,1} \leq \frac{2}{\sqrt{3}}<2</math>
가 성립한다. 보조정리 1에 의해 [math(a_{1,1} \geq 1)]이므로 [math(a_{1,1}=1)]이다. 그러면 [math(2|a_{1,2}| \leq a_{1,1}=1)]에서 [math(a_{1,2}=0)]을 얻는다. 또한 [math(F)]의 판별식이 1인 것에서 [math(a_{2,2}=1)]을 얻는다. 따라서 [math(F)]는 [math(a_{1,1}x_1^2+2a_{1,1}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2=x_1^2+x_2^2)]과 동치이다.

=== 삼항이차형식의 성질 ===
변수가 세 개인 이차형식을 '''삼항이차형식'''(Tenary quadratic form)이라고 한다.

이항이차형식과 비슷하게, 판별식이 1인 임의의 양의 정부호삼항이차형식은 [math(F_{I_3}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2)]와 동치관계가 된다. 이를 증명하자.

==== 보조정리 1 ====
[math(3 \times 3)] 대칭행렬 [math(A=(a_{i,j}))]와 이에 대응되는 삼항이차형식 [math(F_A)]를 생각하고, 그 판별식을 [math(d)]라 하자. 이 때
>[math(A^*=\begin{pmatrix}
a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}^2 & a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,2}a_{1,3} \\
a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,2}a_{1,3} & a_{1,1}a_{3,3}-a_{1,3}^2
\end{pmatrix})]
에 대응되는 이항이차형식 [math(G_{A^*})]에 대해 이 형식은 [math(a_{1,1}d)]를 판별식으로 가지며 다음 식이 성립한다:
>[math(a_{1,1}F_A(x_1,x_2,x_3)=(a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)^2+G_{A^*}(x_2,x_3))]
만약 [math(F_A)]가 양의 정부호형식이라면 [math(G_{A^*})]도 양의 정부호형식이 된다.
또한 [math(F_A)]가 양의 정부호형식일 필요충분조건은
>[math(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} \end{pmatrix} = a_{1,1} \geq 1 \\
\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{1,2} & a_{2,2} \end{pmatrix} = d' \geq 1 \\
\det A = d \geq 1
)]
이다.

==== 보조정리 2 ====
[math(3 \times 3)] 대칭행렬 [math(B=(b_{i,j}))]에 대응되는 삼항이차형식 [math(F_B)]가 양의 정부호형식이라고 하자.
[math(G_{B^*})]는 다음 식을 만족하는 유일한 양의 정부호이항이차형식이라고 하자:
>[math(b_{1,1}F_B(y_1,y_2,y_3)=(b_{1,1}y_1+b_{1,2}y_2+b_{1,3}y_3)+G_{B^*}(y_2,y_3))]
임의의 [math(V^*=(v_{i,j}^*) \in {SL_2(\Bbb Z)})]에 대해 [math(A^*=(V^*)^T B^* V^* (\sim B^*))]라 하고 이에 대응되는 양의 정부호이항이차형식을 [math(G_{A^*} (\sim G_{B^*}))]라 하자.
임의의 정수 [math(r,s)]에 대해
>[math(V_{r,s}=(v_{i,j})=\begin{pmatrix} 1 & r & s \\ 0 & v_{1,1}^* & v_{1,2}^* \\ 0 & v_{2,1}^* & v_{2,2}^* \end{pmatrix} \in {SL}_3(\Bbb Z) \\ \\
A_{r,s}=V_{r,s}^T B V_{r,s}=(a_{i,j}))]
를 생각하고, [math(A_{r,s})]에 대응되는 삼항이차형식을 [math(F_{A_{r,s}})]라 하자.
그러면 [math(a_{1,1}=b_{1,1})]이고
>[math(a_{1,1}F_{A_{r,s}}(x_1.x_2,x_3)=(a_{1,1}x_2+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)^2+G_{A^*}(x_2,x_3))]
가 성립한다.

==== 보조정리 3 ====
[math(u_{1,1},u_{2,1},u_{3,1})]가 [math((u_{1,1},u_{2,1},u_{3,1})=1)]인 정수들이라고 하자.
이 때 [math(u_{i,j} \in \Bbb Z\ (i=1,2,3,\ j=2,3))]가 존재하여 [math(U=(u_{i,j}) \in {SL}_3(\Bbb Z))]이다. 다시 말해, [math(\det(U)=1)]이다.

==== 보조정리 4 ====
판별식이 [math(d)]인 양의 정부호삼항이차형식의 임의의 동치류는 다음 부등식을 만족하는 형식 [math(\sum a_{i,j}x_ix_j)]를 적어도 하나 포함한다:
>[math(2 \max(|a_{1,2},|a_{1,3}||) \leq a_{1,1} \leq \frac{4}{3}\sqrt[3]{d})]

==== 본 증명 ====
[math(F)]가 판별식이 1인 양의 정부호삼항이차형식이라고 하자. 보조정리 4에 의해
><math>0 \leq 2 \max(|a_{1,2}|,|a_{1,3}|) \leq a_{1,1} \leq \frac{4}{3}</math>
인 형식 [math(F_A=\sum a_{i,j}x_ix_j)]가 존재하여 [math(F \sim F_A)]이다. 위 부등식에서 [math(a_{1,2}=a_{1,3}=0)]을 얻는다. 또한 보조정리 1의 ''양의 정부호이차형식의 조건''에 의해 [math(a_{1,1} \geq 1)]이므로 [math(a_{1,1}=1)]이다.
즉 [math(A)]는 아래와 같은 모양을 가지며,
><math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{2,3} & a_{3,3} \end{pmatrix}</math>
[math(2 \times 2)] 행렬
><math>A^*=\begin{pmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{2,3} & a_{3,3} \end{pmatrix}</math>
는 행렬식이 1이고 대응되는 이차형식 [math(F_{A^*})]가 양의 정부호형식이 된다.
따라서 이항이차형식의 성질에 의해 [math(F_{A^*} \sim I_2)]이므로 [math(U^*=(u_{i,j}) \in {SL}_2(\Bbb Z))]가 존재하여 [math((U^*)^T A^* U^*=I_2)]가 된다.
이 때
><math>U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & u_{1,1} & u_{1,2} \\ 0 & u_{1,2} & u_{2,2} \end{pmatrix} \in {SL}_3(\Bbb Z)</math>
로 두면 [math(U^TAU=I_3)]가 되므로 [math(A \sim I_3)]이다. 따라서 증명되었다.

== 보조정리 ==
자연수 [math(n \geq 2)]를 생각하자. 만약 [math(d' \in \Bbb N)]이 존재하여 [math(-d')]이 [math(d'n-1)]의 [[이차 잉여]]이면, [math(n)]은 세 제곱수의 합으로 표현될 수 있다.

=== 증명 ===
이를 이용하여 어떤 자연수 [math(n)]에 대해 위의 조건을 만족하는 [math(d')]을 찾아 세 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 보일 것이다.

== 가능한 경우 ==
* [math(n \equiv 2 \pmod 4)]
* [math(n \equiv 1,3,5 \pmod 8)]

== 참고문헌 ==
* Melvyn B. Nathanson (1996). ''Additive Number Theory: The Classical Bases''. Graduate Texts in Mathematics 164. Springer. ISBN 9780387946566.

== 영상 ==
[youtube(OW3LULzkYqk)]

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://archive.ph/Vgtmk|링크]])]

(임시 저장) (임시 저장 불러오기)

(↪️) (💎) (🛠️) (추가)