세 제곱수의 합

Sum of three squares

이 문서는 세 제곱수의 합에 대한 카를 프리드리히 가우스의 정리에 대해 서술하고 있다.

목차

1. 진술
2. 증명
2.1. 불가능한 경우
3. 이차형식
3.1. 행렬의 집합과 동치관계
3.2. 이차형식의 정의
3.3. 이항이차형식의 성질
3.3.1. 보조정리 1
3.3.2. 보조정리 2
3.3.3. 본 증명
3.4. 삼항이차형식의 성질
3.4.1. 보조정리 1
3.4.2. 보조정리 2
3.4.3. 보조정리 3
3.4.4. 보조정리 4
3.4.5. 본 증명
4. 보조정리
4.1. 증명
5. 가능한 경우
6. 참고문헌
7. 영상

1. 진술 _{✎ ⊖}

자연수

N

이

4^n(8m+7)\ (m,n \in \Bbb N_0)

꼴이 아닌 것과 세 제곱수의 합으로 표현할 수 있는 것은 동치이다.

2. 증명 _{✎ ⊖}

2.1. 불가능한 경우 _{✎ ⊖}

우선

4^n(8m+7)\ (m,n \in \Bbb N_0)

꼴의 자연수가 세 제곱수의 합으로 표현할 수 없음을 보이자.

만약 가능하다면,

4^n(8m+7)=x_1^2+x_2^2+x_3^2

인 음이 아닌 정수

x_1,x_2,x_3

가 존재한다.

n \geq 1

이면

4 \mid x_1^2+x_2^2+x_3^2

이므로

x_1,x_2,x_3

가 모두 짝수일 수 밖에 없다. 따라서 음이 아닌 정수

\frac{x_1}{2},\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{2}

에 대해

$4^{n-1}(8m+7)=\left(\frac{x_1}{2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{2}\right)^2+\left(\frac{x_3}{2}\right)^2$

가 성립한다.

이와 같은 논리로

8m+7=y_1^2+y_2^2+y_3^2

인 음이 아닌 정수

y_1,y_2,y_3

를 찾을 수 있는데, 항상

y_1^2+y_2^2+y_3^2 \not\equiv 7 \pmod 8

이므로 이는 모순이다. 따라서

4^n(8m+7)\ (m,n \in \Bbb N_0)

꼴의 자연수가 세 제곱수의 합으로 표현할 수 없다.

이제 다른 경우에는 항상 세 제곱수의 합으로 표현할 수 있음을 보이자.

3. 이차형식 _{✎ ⊖}

이 문단은 본 증명에 사용되는 정수 계수 이차형식의 성질에 대해 설명하고 있습니다. 아래에 언급되는 모든 행렬은 정수 계수입니다.

3.1. 행렬의 집합과 동치관계 _{✎ ⊖}

정수 계수

n \times n

행렬들을 생각하자. 이 때 이 행렬들의 집합

M_n(\Bbb Z)

는 환이 되고, 행렬식이 1인 것만 모아

{SL}_n(\Bbb Z)

를 만들면 이 군은

M_n(\Bbb Z)

에 다음과 같이 작용한다:

$A \in M_n(\Bbb Z),\ U \in {SL}_n(\Bbb Z)$ 에 대해 $A \cdot U=U^T A U$

이제

A,B \in M_n(\Bbb Z)

가 동치관계일 조건, 즉

A \sim B

일 조건을

A,B

가 같은 궤도에 들어있을 때로 정의하자. 이것이 동치관계임은 쉽게 보일 수 있다.

3.2. 이차형식의 정의 _{✎ ⊖}

n \times n

행렬

A=(a_{i,j})

에 대해,

A

에 대응되는 이차형식(Quadratic form)

F_A

를 다음과 같이 정의한다:

$F_A(x_1,\cdots,x_n):=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}x_ix_j$

예를 들면

F_{I_n}(x_1,\cdots,x_n)=x_1^2+\cdots+x_n^2

인 식이다.

만약

n \times 1

벡터

x

를 다음과 같이 정의한다면,

$x:=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}$

이차형식

F_A

는 다음과 같이 쓸 수 있다:

$F_A(x)=x^TAx$

F_A

의 판별식(discriminant)은

A

의 행렬식으로 정의한다. 같은 동치류에 들어있는 이차형식은 판별식의 값이 같다.

크기가 같은 행렬

A,B

에 대해

A \sim B

일 때

F_A \sim F_B

로 정의한다. 이것이 동치관계임은 쉽게 보일 수 있다.

정수계수 열벡터

x

가 존재하여 정수

N

에 대해

F_A(x)=N

이 성립할 때, $F_A$ 는 $N$ 을 표현한다(represent)고 말한다.

F_A \sim F_B

이면

A \sim B

에서

U \in SL(\Bbb Z)

가 존재하여

B=U^TAU

이므로

$F_B(x)=x^TBx=(Ux)^TA(Ux)=F_A(Ux)$

이다. 따라서 동치인 이차형식들은 표현할 수 있는 정수의 집합이 동일하다.

이차형식

F_A

가 모든 원소가 0인 열벡터 외의 다른 열벡터들에 대해 1 이상의 값을 가질 때, 이를 양의 정부호이차형식(positive-definite quadratic form)이라고 한다.

3.3. 이항이차형식의 성질 _{✎ ⊖}

변수가 두 개인 이차형식을 이항이차형식(Binary quadratic form)이라고 한다.

판별식이 1인 임의의 양의 정부호이항이차형식은

F_{I_2}(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2

와 동치관계가 된다. 이를 증명하자.

3.3.1. 보조정리 1 _{✎ ⊖}

2 \times 2

대칭행렬

A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{1,2} & a_{2,2} \end{pmatrix}

에 대응되는 이차형식

F_A

가 양의 정부호이차형식일 필요충분조건은

a_{1,1} \geq 1

이고

d=\det(A)=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}^2 \geq 1

인 것이다.

3.3.2. 보조정리 2 _{✎ ⊖}

판별식이

d

인 양의 정부호이차형식의 동치류는

2|a_{1,2}| \leq a_{1,1} \leq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{d}

인 양의 정부호이차형식

F_A(x_1,x_2)=a_{1,1}x_1^2+2a_{1,2}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2

를 적어도 하나 가진다.

3.3.3. 본 증명 _{✎ ⊖}

F

가 판별식이 1인 양의 정부호이항이차형식이라고 하자. 보조정리 2에 의해

F

와 동치인 형식

a_{1,1}x_1^2+2a_{1,1}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2

가 존재하여

$2|a_{1,2}| \leq a_{1,1} \leq \frac{2}{\sqrt{3}}<2$

가 성립한다. 보조정리 1에 의해

a_{1,1} \geq 1

이므로

a_{1,1}=1

이다. 그러면

2|a_{1,2}| \leq a_{1,1}=1

에서

a_{1,2}=0

을 얻는다. 또한

F

의 판별식이 1인 것에서

a_{2,2}=1

을 얻는다. 따라서

F

는

a_{1,1}x_1^2+2a_{1,1}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2=x_1^2+x_2^2

과 동치이다.

3.4. 삼항이차형식의 성질 _{✎ ⊖}

변수가 세 개인 이차형식을 삼항이차형식(Tenary quadratic form)이라고 한다.

이항이차형식과 비슷하게, 판별식이 1인 임의의 양의 정부호삼항이차형식은

F_{I_3}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2

와 동치관계가 된다. 이를 증명하자.

3.4.1. 보조정리 1 _{✎ ⊖}

3 \times 3

대칭행렬

A=(a_{i,j})

와 이에 대응되는 삼항이차형식

F_A

를 생각하고, 그 판별식을

d

라 하자. 이 때

$A^*=\begin{pmatrix}a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}^2 & a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,2}a_{1,3} \\a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,2}a_{1,3} & a_{1,1}a_{3,3}-a_{1,3}^2\end{pmatrix}$

에 대응되는 이항이차형식

G_{A^*}

에 대해 이 형식은

a_{1,1}d

를 판별식으로 가지며 다음 식이 성립한다:

$a_{1,1}F_A(x_1,x_2,x_3)=(a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)^2+G_{A^*}(x_2,x_3)$

만약

F_A

가 양의 정부호형식이라면

G_{A^*}

도 양의 정부호형식이 된다.
또한

F_A

가 양의 정부호형식일 필요충분조건은

$\det \begin{pmatrix} a_{1,1} \end{pmatrix} = a_{1,1} \geq 1 \\\det \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{1,2} & a_{2,2} \end{pmatrix} = d' \geq 1 \\\det A = d \geq 1$

이다.

3.4.2. 보조정리 2 _{✎ ⊖}

3 \times 3

대칭행렬

B=(b_{i,j})

에 대응되는 삼항이차형식

F_B

가 양의 정부호형식이라고 하자.

G_{B^*}

는 다음 식을 만족하는 유일한 양의 정부호이항이차형식이라고 하자:

$b_{1,1}F_B(y_1,y_2,y_3)=(b_{1,1}y_1+b_{1,2}y_2+b_{1,3}y_3)+G_{B^*}(y_2,y_3)$

임의의

V^*=(v_{i,j}^*) \in {SL_2(\Bbb Z)}

에 대해

A^*=(V^*)^T B^* V^* (\sim B^*)

라 하고 이에 대응되는 양의 정부호이항이차형식을

G_{A^*} (\sim G_{B^*})

라 하자.
임의의 정수

r,s

에 대해

$V_{r,s}=(v_{i,j})=\begin{pmatrix} 1 & r & s \\ 0 & v_{1,1}^* & v_{1,2}^* \\ 0 & v_{2,1}^* & v_{2,2}^* \end{pmatrix} \in {SL}_3(\Bbb Z) \\ \\A_{r,s}=V_{r,s}^T B V_{r,s}=(a_{i,j})$

를 생각하고,

A_{r,s}

에 대응되는 삼항이차형식을

F_{A_{r,s}}

라 하자.
그러면

a_{1,1}=b_{1,1}

이고

$a_{1,1}F_{A_{r,s}}(x_1.x_2,x_3)=(a_{1,1}x_2+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)^2+G_{A^*}(x_2,x_3)$

가 성립한다.

3.4.3. 보조정리 3 _{✎ ⊖}

u_{1,1},u_{2,1},u_{3,1}

가

(u_{1,1},u_{2,1},u_{3,1})=1

인 정수들이라고 하자.
이 때

u_{i,j} \in \Bbb Z\ (i=1,2,3,\ j=2,3)

가 존재하여

U=(u_{i,j}) \in {SL}_3(\Bbb Z)

이다. 다시 말해,

\det(U)=1

이다.

3.4.4. 보조정리 4 _{✎ ⊖}

판별식이

d

인 양의 정부호삼항이차형식의 임의의 동치류는 다음 부등식을 만족하는 형식

\sum a_{i,j}x_ix_j

를 적어도 하나 포함한다:

$2 \max(|a_{1,2},|a_{1,3}||) \leq a_{1,1} \leq \frac{4}{3}\sqrt[3]{d}$

3.4.5. 본 증명 _{✎ ⊖}

F

가 판별식이 1인 양의 정부호삼항이차형식이라고 하자. 보조정리 4에 의해

$0 \leq 2 \max(|a_{1,2}|,|a_{1,3}|) \leq a_{1,1} \leq \frac{4}{3}$

인 형식

F_A=\sum a_{i,j}x_ix_j

가 존재하여

F \sim F_A

이다. 위 부등식에서

a_{1,2}=a_{1,3}=0

을 얻는다. 또한 보조정리 1의 양의 정부호이차형식의 조건에 의해

a_{1,1} \geq 1

이므로

a_{1,1}=1

이다.
즉

A

는 아래와 같은 모양을 가지며,

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{2,3} & a_{3,3} \end{pmatrix}$

2 \times 2

행렬

$A^*=\begin{pmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{2,3} & a_{3,3} \end{pmatrix}$

는 행렬식이 1이고 대응되는 이차형식

F_{A^*}

가 양의 정부호형식이 된다.
따라서 이항이차형식의 성질에 의해

F_{A^*} \sim I_2

이므로

U^*=(u_{i,j}) \in {SL}_2(\Bbb Z)

가 존재하여

(U^*)^T A^* U^*=I_2

가 된다.
이 때

$U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & u_{1,1} & u_{1,2} \\ 0 & u_{1,2} & u_{2,2} \end{pmatrix} \in {SL}_3(\Bbb Z)$

로 두면

U^TAU=I_3

가 되므로

A \sim I_3

이다. 따라서 증명되었다.

4. 보조정리 _{✎ ⊖}

자연수

n \geq 2

를 생각하자. 만약

d' \in \Bbb N

이 존재하여

-d'

이

d'n-1

의 이차 잉여이면,

n

은 세 제곱수의 합으로 표현될 수 있다.

4.1. 증명 _{✎ ⊖}

이를 이용하여 어떤 자연수

n

에 대해 위의 조건을 만족하는

d'

을 찾아 세 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 보일 것이다.

5. 가능한 경우 _{✎ ⊖}

$n \equiv 2 \pmod 4$
$n \equiv 1,3,5 \pmod 8$

6. 참고문헌 _{✎ ⊖}

Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 164. Springer. ISBN 9780387946566.

7. 영상 _{✎ ⊖}

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0에 따라 이용할 수 있습니다.
본 문서의 원본은 링크에서 확인할 수 있습니다.

1. 진술 ✎ ⊖

2. 증명 ✎ ⊖

2.1. 불가능한 경우 ✎ ⊖

3. 이차형식 ✎ ⊖

3.1. 행렬의 집합과 동치관계 ✎ ⊖

3.2. 이차형식의 정의 ✎ ⊖

3.3. 이항이차형식의 성질 ✎ ⊖

3.3.1. 보조정리 1 ✎ ⊖

3.3.2. 보조정리 2 ✎ ⊖

3.3.3. 본 증명 ✎ ⊖

3.4. 삼항이차형식의 성질 ✎ ⊖

3.4.1. 보조정리 1 ✎ ⊖

3.4.2. 보조정리 2 ✎ ⊖

3.4.3. 보조정리 3 ✎ ⊖

3.4.4. 보조정리 4 ✎ ⊖

3.4.5. 본 증명 ✎ ⊖

4. 보조정리 ✎ ⊖

4.1. 증명 ✎ ⊖

5. 가능한 경우 ✎ ⊖

6. 참고문헌 ✎ ⊖

7. 영상 ✎ ⊖

1. 진술 _{✎ ⊖}

2. 증명 _{✎ ⊖}

2.1. 불가능한 경우 _{✎ ⊖}

3. 이차형식 _{✎ ⊖}

3.1. 행렬의 집합과 동치관계 _{✎ ⊖}

3.2. 이차형식의 정의 _{✎ ⊖}

3.3. 이항이차형식의 성질 _{✎ ⊖}

3.3.1. 보조정리 1 _{✎ ⊖}

3.3.2. 보조정리 2 _{✎ ⊖}

3.3.3. 본 증명 _{✎ ⊖}

3.4. 삼항이차형식의 성질 _{✎ ⊖}

3.4.1. 보조정리 1 _{✎ ⊖}

3.4.2. 보조정리 2 _{✎ ⊖}

3.4.3. 보조정리 3 _{✎ ⊖}

3.4.4. 보조정리 4 _{✎ ⊖}

3.4.5. 본 증명 _{✎ ⊖}

4. 보조정리 _{✎ ⊖}

4.1. 증명 _{✎ ⊖}

5. 가능한 경우 _{✎ ⊖}

6. 참고문헌 _{✎ ⊖}

7. 영상 _{✎ ⊖}