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세 제곱수의 합
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204,913
=== 불가능한 경우 === 우선 [math(4^n(8m+7)\ (m,n \in \Bbb N_0))] 꼴의 자연수가 세 제곱수의 합으로 표현할 수 없음을 보이자. 만약 가능하다면, [math(4^n(8m+7)=x_1^2+x_2^2+x_3^2)]인 음이 아닌 정수 [math(x_1,x_2,x_3)]가 존재한다. [math(n \geq 1)]이면 [math(4 \mid x_1^2+x_2^2+x_3^2)]이므로 [math(x_1,x_2,x_3)]가 모두 짝수일 수 밖에 없다. 따라서 음이 아닌 정수 [math(\frac{x_1}{2},\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{2})]에 대해 >[math(4^{n-1}(8m+7)=\left(\frac{x_1}{2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{2}\right)^2+\left(\frac{x_3}{2}\right)^2)] 가 성립한다. 이와 같은 논리로 [math(8m+7=y_1^2+y_2^2+y_3^2)]인 음이 아닌 정수 [math(y_1,y_2,y_3)]를 찾을 수 있는데, 항상 [math(y_1^2+y_2^2+y_3^2 \not\equiv 7 \pmod 8)]이므로 이는 모순이다. 따라서 [math(4^n(8m+7)\ (m,n \in \Bbb N_0))] 꼴의 자연수가 세 제곱수의 합으로 표현할 수 없다. 이제 다른 경우에는 항상 세 제곱수의 합으로 표현할 수 있음을 보이자.
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=== 불가능한 경우 === 우선 [math(4^n(8m+7)\ (m,n \in \Bbb N_0))] 꼴의 자연수가 세 제곱수의 합으로 표현할 수 없음을 보이자. 만약 가능하다면, [math(4^n(8m+7)=x_1^2+x_2^2+x_3^2)]인 음이 아닌 정수 [math(x_1,x_2,x_3)]가 존재한다. [math(n \geq 1)]이면 [math(4 \mid x_1^2+x_2^2+x_3^2)]이므로 [math(x_1,x_2,x_3)]가 모두 짝수일 수 밖에 없다. 따라서 음이 아닌 정수 [math(\frac{x_1}{2},\frac{x_2}{2},\frac{x_3}{2})]에 대해 >[math(4^{n-1}(8m+7)=\left(\frac{x_1}{2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{2}\right)^2+\left(\frac{x_3}{2}\right)^2)] 가 성립한다. 이와 같은 논리로 [math(8m+7=y_1^2+y_2^2+y_3^2)]인 음이 아닌 정수 [math(y_1,y_2,y_3)]를 찾을 수 있는데, 항상 [math(y_1^2+y_2^2+y_3^2 \not\equiv 7 \pmod 8)]이므로 이는 모순이다. 따라서 [math(4^n(8m+7)\ (m,n \in \Bbb N_0))] 꼴의 자연수가 세 제곱수의 합으로 표현할 수 없다. 이제 다른 경우에는 항상 세 제곱수의 합으로 표현할 수 있음을 보이자.
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