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세 제곱수의 합
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5678,6620
==== 본 증명 ==== [math(F)]가 판별식이 1인 양의 정부호삼항이차형식이라고 하자. 보조정리 4에 의해 ><math>0 \leq 2 \max(|a_{1,2}|,|a_{1,3}|) \leq a_{1,1} \leq \frac{4}{3}</math> 인 형식 [math(F_A=\sum a_{i,j}x_ix_j)]가 존재하여 [math(F \sim F_A)]이다. 위 부등식에서 [math(a_{1,2}=a_{1,3}=0)]을 얻는다. 또한 보조정리 1의 ''양의 정부호이차형식의 조건''에 의해 [math(a_{1,1} \geq 1)]이므로 [math(a_{1,1}=1)]이다. 즉 [math(A)]는 아래와 같은 모양을 가지며, ><math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{2,3} & a_{3,3} \end{pmatrix}</math> [math(2 \times 2)] 행렬 ><math>A^*=\begin{pmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{2,3} & a_{3,3} \end{pmatrix}</math> 는 행렬식이 1이고 대응되는 이차형식 [math(F_{A^*})]가 양의 정부호형식이 된다. 따라서 이항이차형식의 성질에 의해 [math(F_{A^*} \sim I_2)]이므로 [math(U^*=(u_{i,j}) \in {SL}_2(\Bbb Z))]가 존재하여 [math((U^*)^T A^* U^*=I_2)]가 된다. 이 때 ><math>U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & u_{1,1} & u_{1,2} \\ 0 & u_{1,2} & u_{2,2} \end{pmatrix} \in {SL}_3(\Bbb Z)</math> 로 두면 [math(U^TAU=I_3)]가 되므로 [math(A \sim I_3)]이다. 따라서 증명되었다.
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==== 본 증명 ==== [math(F)]가 판별식이 1인 양의 정부호삼항이차형식이라고 하자. 보조정리 4에 의해 ><math>0 \leq 2 \max(|a_{1,2}|,|a_{1,3}|) \leq a_{1,1} \leq \frac{4}{3}</math> 인 형식 [math(F_A=\sum a_{i,j}x_ix_j)]가 존재하여 [math(F \sim F_A)]이다. 위 부등식에서 [math(a_{1,2}=a_{1,3}=0)]을 얻는다. 또한 보조정리 1의 ''양의 정부호이차형식의 조건''에 의해 [math(a_{1,1} \geq 1)]이므로 [math(a_{1,1}=1)]이다. 즉 [math(A)]는 아래와 같은 모양을 가지며, ><math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{2,3} & a_{3,3} \end{pmatrix}</math> [math(2 \times 2)] 행렬 ><math>A^*=\begin{pmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{2,3} & a_{3,3} \end{pmatrix}</math> 는 행렬식이 1이고 대응되는 이차형식 [math(F_{A^*})]가 양의 정부호형식이 된다. 따라서 이항이차형식의 성질에 의해 [math(F_{A^*} \sim I_2)]이므로 [math(U^*=(u_{i,j}) \in {SL}_2(\Bbb Z))]가 존재하여 [math((U^*)^T A^* U^*=I_2)]가 된다. 이 때 ><math>U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & u_{1,1} & u_{1,2} \\ 0 & u_{1,2} & u_{2,2} \end{pmatrix} \in {SL}_3(\Bbb Z)</math> 로 두면 [math(U^TAU=I_3)]가 되므로 [math(A \sim I_3)]이다. 따라서 증명되었다.
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