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세 제곱수의 합
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3734,4460
==== 보조정리 1 ==== [math(3 \times 3)] 대칭행렬 [math(A=(a_{i,j}))]와 이에 대응되는 삼항이차형식 [math(F_A)]를 생각하고, 그 판별식을 [math(d)]라 하자. 이 때 >[math(A^*=\begin{pmatrix} a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}^2 & a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,2}a_{1,3} \\ a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,2}a_{1,3} & a_{1,1}a_{3,3}-a_{1,3}^2 \end{pmatrix})] 에 대응되는 이항이차형식 [math(G_{A^*})]에 대해 이 형식은 [math(a_{1,1}d)]를 판별식으로 가지며 다음 식이 성립한다: >[math(a_{1,1}F_A(x_1,x_2,x_3)=(a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)^2+G_{A^*}(x_2,x_3))] 만약 [math(F_A)]가 양의 정부호형식이라면 [math(G_{A^*})]도 양의 정부호형식이 된다. 또한 [math(F_A)]가 양의 정부호형식일 필요충분조건은 >[math(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} \end{pmatrix} = a_{1,1} \geq 1 \\ \det \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{1,2} & a_{2,2} \end{pmatrix} = d' \geq 1 \\ \det A = d \geq 1 )] 이다.
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==== 보조정리 1 ==== [math(3 \times 3)] 대칭행렬 [math(A=(a_{i,j}))]와 이에 대응되는 삼항이차형식 [math(F_A)]를 생각하고, 그 판별식을 [math(d)]라 하자. 이 때 >[math(A^*=\begin{pmatrix} a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}^2 & a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,2}a_{1,3} \\ a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,2}a_{1,3} & a_{1,1}a_{3,3}-a_{1,3}^2 \end{pmatrix})] 에 대응되는 이항이차형식 [math(G_{A^*})]에 대해 이 형식은 [math(a_{1,1}d)]를 판별식으로 가지며 다음 식이 성립한다: >[math(a_{1,1}F_A(x_1,x_2,x_3)=(a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)^2+G_{A^*}(x_2,x_3))] 만약 [math(F_A)]가 양의 정부호형식이라면 [math(G_{A^*})]도 양의 정부호형식이 된다. 또한 [math(F_A)]가 양의 정부호형식일 필요충분조건은 >[math(\det \begin{pmatrix} a_{1,1} \end{pmatrix} = a_{1,1} \geq 1 \\ \det \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{1,2} & a_{2,2} \end{pmatrix} = d' \geq 1 \\ \det A = d \geq 1 )] 이다.
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