세 제곱수의 합 (편집) (6)

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=== 이차형식의 정의 ===
[math(n \times n)] 행렬 [math(A=(a_{i,j}))]에 대해, [math(A)]에 대응되는 '''이차형식'''(Quadratic form) [math(F_A)]를 다음과 같이 정의한다:
><math>F_A(x_1,\cdots,x_n):=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j}x_ix_j</math>
예를 들면 [math(F_{I_n}(x_1,\cdots,x_n)=x_1^2+\cdots+x_n^2)]인 식이다.

만약 [math(n \times 1)] 벡터 [math(x)]를 다음과 같이 정의한다면,
><math>x:=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}</math>
이차형식 [math(F_A)]는 다음과 같이 쓸 수 있다:
><math>F_A(x)=x^TAx</math>
[math(F_A)]의 '''판별식'''(discriminant)은 [math(A)]의 행렬식으로 정의한다. 같은 동치류에 들어있는 이차형식은 판별식의 값이 같다.

크기가 같은 행렬 [math(A,B)]에 대해 [math(A \sim B)]일 때 [math(F_A \sim F_B)]로 정의한다. 이것이 동치관계임은 쉽게 보일 수 있다.

정수계수 열벡터 [math(x)]가 존재하여 정수 [math(N)]에 대해 [math(F_A(x)=N)]이 성립할 때, '''[math(F_A)]는 [math(N)]을 표현한다'''(represent)고 말한다.

[math(F_A \sim F_B)]이면 [math(A \sim B)]에서 [math(U \in SL(\Bbb Z))]가 존재하여 [math(B=U^TAU)]이므로
><math>F_B(x)=x^TBx=(Ux)^TA(Ux)=F_A(Ux)</math>
이다. 따라서 동치인 이차형식들은 표현할 수 있는 정수의 집합이 동일하다.

이차형식 [math(F_A)]가 모든 원소가 0인 열벡터 외의 다른 열벡터들에 대해 1 이상의 값을 가질 때, 이를 '''양의 정부호이차형식'''(positive-definite quadratic form)이라고 한다.

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크기가 같은 행렬 [math(A,B)]에 대해 [math(A \sim B)]일 때 [math(F_A \sim F_B)]로 정의한다. 이것이 동치관계임은 쉽게 보일 수 있다.

정수계수 열벡터 [math(x)]가 존재하여 정수 [math(N)]에 대해 [math(F_A(x)=N)]이 성립할 때, '''[math(F_A)]는 [math(N)]을 표현한다'''(represent)고 말한다.

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