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군의 작용(Group Action)은 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.
1. 정의 ✎ ⊖
f:G×X→X에서 f(g,x)를 gx라고 쓰기로 하자. 이때 다음을 만족하면 f를 G의 X에 대한 좌작용(Left action)이라고 한다.
1. e가 G의 항등원이고 x가 X의 원소일 때 ex=x
2. g1, g2가 임의의 G의 원소이고, x가 X의 원소일 때 (g_1g_2)x=g_1(g_2x)
마찬가지로 f:X×G→X에서 f(x,g)를 xg라고 쓰기로 하자. 이때 다음을 만족하면 f를 G의 X에 대한 우작용(Right action)이라고 한다.
1. e가 G의 항등원이고 x가 X의 원소일 때 xe=x
2. g1, g2가 임의의 G의 원소이고, x가 X의 원소일 때 x(g_1g_2)=(xg_1)g_2
r이 G의 X에 대한 우작용이라고 하고, l:G×X→X를 다음과 같이 정의하자.
l(g,x)=r(x,g−1)
이때, l은 G의 X에 대한 좌작용임을 확일할 수 있다. 또한 비슷한 방법으로 우작용을 좌작용으로 바꿀 수도 있다. 따라서 일반적으로 작용이라 함은 좌작용을 말한다.
1. e가 G의 항등원이고 x가 X의 원소일 때 ex=x
2. g1, g2가 임의의 G의 원소이고, x가 X의 원소일 때 (g_1g_2)x=g_1(g_2x)
마찬가지로 f:X×G→X에서 f(x,g)를 xg라고 쓰기로 하자. 이때 다음을 만족하면 f를 G의 X에 대한 우작용(Right action)이라고 한다.
1. e가 G의 항등원이고 x가 X의 원소일 때 xe=x
2. g1, g2가 임의의 G의 원소이고, x가 X의 원소일 때 x(g_1g_2)=(xg_1)g_2
r이 G의 X에 대한 우작용이라고 하고, l:G×X→X를 다음과 같이 정의하자.
l(g,x)=r(x,g−1)
이때, l은 G의 X에 대한 좌작용임을 확일할 수 있다. 또한 비슷한 방법으로 우작용을 좌작용으로 바꿀 수도 있다. 따라서 일반적으로 작용이라 함은 좌작용을 말한다.
2. 종류 ✎ ⊖
G가 X에 좌작용한다고 하자.
2.1. 추이적 작용 ✎ ⊖
X의 서로 다른 임의의 원소 x_1, x_2, ..., xn과, y_1, y_2, ..., yn에 대해 적당한 G의 원소 g가 존재하여 gx_k=y_k일 때(k는 1이상 n이하의 자연수) G는 X에 n-추이적으로 작용한다고 한다. 또한 g가 유일하게 존재하면 n-추이적으로 작용한다고 한다. 1-추이적으로 작용하는 경우 단순히 추이적으로 작용한다고 하고, 1-정추이적으로 작용하는 경우 정칙 작용이라고 한다.
2.2. 충실한 작용과 자유 작용 ✎ ⊖
G의 서로 다른 두 원소 g_1, g_2에 대해서 적당한 x∈X가 존재해서 g_1x≠g_2x인 경우 이 작용은 충실하다고 하고, 서로 다른 두 원소 g_1, g_2와 모든 x∈X에 대해서 g_1x≠g_2x인 경우 이 작용을 자유 작용이라고 한다.
3. 궤도와 안정자군 ✎ ⊖
G가 X에 좌작용한다고 하자.
3.1. 궤도 ✎ ⊖
X의 원소 x의 궤도는 다음과 같이 정의된다.
G_x={gx:g∈G}
즉, x의 궤도는 x에 적당한 G의 원소가 작용했을 때, 나올 수 있는 X의 원소를 말한다. x y를 gx=y인 G의 원소 g가 존재한다고 정의하면, ~는 동치관계임을 쉽게 보일 수 있으며, X는 여러 궤도들로 분할됨을 알 수 있다.
G_x={gx:g∈G}
즉, x의 궤도는 x에 적당한 G의 원소가 작용했을 때, 나올 수 있는 X의 원소를 말한다. x y를 gx=y인 G의 원소 g가 존재한다고 정의하면, ~는 동치관계임을 쉽게 보일 수 있으며, X는 여러 궤도들로 분할됨을 알 수 있다.
3.2. 안정자군 ✎ ⊖
X의 원소 x의 안정자군은 다음과 같이 정의된다.
G_x={g:gx=x}
x의 안정자군은 G의 원소 중에서 x를 고정하는 원소를 모은 집합을 말하며, 이 집합은 군이 된다.
G_x={g:gx=x}
x의 안정자군은 G의 원소 중에서 x를 고정하는 원소를 모은 집합을 말하며, 이 집합은 군이 된다.
3.3. 궤도-안정자군 정리 ✎ ⊖
G와 X가 모두 유한하다면 X의 임의의 원소 x에 대해서 G_x는 G의 부분군이다. G_x의 좌잉여류에서 궤도로 가는 전단사 함수가 존재하므로 라그랑주 정리에 의해 |G|=|G_x|⋅|G:G_x|=|G_x|⋅|G_x|가 된다. |G_x|=|G|/|G_x|가 성립한다는 것을 궤도-안정자군 정리라고 한다.
