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세 제곱수의 합
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3082,3547
==== 본 증명 ==== [math(F)]가 판별식이 1인 양의 정부호이항이차형식이라고 하자. 보조정리 2에 의해 [math(F)]와 동치인 형식 [math(a_{1,1}x_1^2+2a_{1,1}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2)]가 존재하여 ><math>2|a_{1,2}| \leq a_{1,1} \leq \frac{2}{\sqrt{3}}<2</math> 가 성립한다. 보조정리 1에 의해 [math(a_{1,1} \geq 1)]이므로 [math(a_{1,1}=1)]이다. 그러면 [math(2|a_{1,2}| \leq a_{1,1}=1)]에서 [math(a_{1,2}=0)]을 얻는다. 또한 [math(F)]의 판별식이 1인 것에서 [math(a_{2,2}=1)]을 얻는다. 따라서 [math(F)]는 [math(a_{1,1}x_1^2+2a_{1,1}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2=x_1^2+x_2^2)]과 동치이다.
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==== 본 증명 ==== [math(F)]가 판별식이 1인 양의 정부호이항이차형식이라고 하자. 보조정리 2에 의해 [math(F)]와 동치인 형식 [math(a_{1,1}x_1^2+2a_{1,1}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2)]가 존재하여 ><math>2|a_{1,2}| \leq a_{1,1} \leq \frac{2}{\sqrt{3}}<2</math> 가 성립한다. 보조정리 1에 의해 [math(a_{1,1} \geq 1)]이므로 [math(a_{1,1}=1)]이다. 그러면 [math(2|a_{1,2}| \leq a_{1,1}=1)]에서 [math(a_{1,2}=0)]을 얻는다. 또한 [math(F)]의 판별식이 1인 것에서 [math(a_{2,2}=1)]을 얻는다. 따라서 [math(F)]는 [math(a_{1,1}x_1^2+2a_{1,1}x_1x_2+a_{2,2}x_2^2=x_1^2+x_2^2)]과 동치이다.
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