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세 제곱수의 합
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4461,5260
==== 보조정리 2 ==== [math(3 \times 3)] 대칭행렬 [math(B=(b_{i,j}))]에 대응되는 삼항이차형식 [math(F_B)]가 양의 정부호형식이라고 하자. [math(G_{B^*})]는 다음 식을 만족하는 유일한 양의 정부호이항이차형식이라고 하자: >[math(b_{1,1}F_B(y_1,y_2,y_3)=(b_{1,1}y_1+b_{1,2}y_2+b_{1,3}y_3)+G_{B^*}(y_2,y_3))] 임의의 [math(V^*=(v_{i,j}^*) \in {SL_2(\Bbb Z)})]에 대해 [math(A^*=(V^*)^T B^* V^* (\sim B^*))]라 하고 이에 대응되는 양의 정부호이항이차형식을 [math(G_{A^*} (\sim G_{B^*}))]라 하자. 임의의 정수 [math(r,s)]에 대해 >[math(V_{r,s}=(v_{i,j})=\begin{pmatrix} 1 & r & s \\ 0 & v_{1,1}^* & v_{1,2}^* \\ 0 & v_{2,1}^* & v_{2,2}^* \end{pmatrix} \in {SL}_3(\Bbb Z) \\ \\ A_{r,s}=V_{r,s}^T B V_{r,s}=(a_{i,j}))] 를 생각하고, [math(A_{r,s})]에 대응되는 삼항이차형식을 [math(F_{A_{r,s}})]라 하자. 그러면 [math(a_{1,1}=b_{1,1})]이고 >[math(a_{1,1}F_{A_{r,s}}(x_1.x_2,x_3)=(a_{1,1}x_2+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)^2+G_{A^*}(x_2,x_3))] 가 성립한다.
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==== 보조정리 2 ==== [math(3 \times 3)] 대칭행렬 [math(B=(b_{i,j}))]에 대응되는 삼항이차형식 [math(F_B)]가 양의 정부호형식이라고 하자. [math(G_{B^*})]는 다음 식을 만족하는 유일한 양의 정부호이항이차형식이라고 하자: >[math(b_{1,1}F_B(y_1,y_2,y_3)=(b_{1,1}y_1+b_{1,2}y_2+b_{1,3}y_3)+G_{B^*}(y_2,y_3))] 임의의 [math(V^*=(v_{i,j}^*) \in {SL_2(\Bbb Z)})]에 대해 [math(A^*=(V^*)^T B^* V^* (\sim B^*))]라 하고 이에 대응되는 양의 정부호이항이차형식을 [math(G_{A^*} (\sim G_{B^*}))]라 하자. 임의의 정수 [math(r,s)]에 대해 >[math(V_{r,s}=(v_{i,j})=\begin{pmatrix} 1 & r & s \\ 0 & v_{1,1}^* & v_{1,2}^* \\ 0 & v_{2,1}^* & v_{2,2}^* \end{pmatrix} \in {SL}_3(\Bbb Z) \\ \\ A_{r,s}=V_{r,s}^T B V_{r,s}=(a_{i,j}))] 를 생각하고, [math(A_{r,s})]에 대응되는 삼항이차형식을 [math(F_{A_{r,s}})]라 하자. 그러면 [math(a_{1,1}=b_{1,1})]이고 >[math(a_{1,1}F_{A_{r,s}}(x_1.x_2,x_3)=(a_{1,1}x_2+a_{1,2}x_2+a_{1,3}x_3)^2+G_{A^*}(x_2,x_3))] 가 성립한다.
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