쌍대 공간 (편집) - 시드위키

[[분류:가져온 문서/오메가]]
dual space

벡터 공간의 선형 범함수들이 이루는 벡터 공간을 말한다.

== 정의 ==
체 <math>F</math> 상의 벡터 공간 <math>V</math>에 대해 <math>V</math>에서 <math>F</math>로 가는 선형 변환을 V의 선형 범함수(linear functional)라고 하고, 이들의 집합 <math>\mathcal L (V,F)</math>은 벡터 공간을 이룬다. 이 때, <math>\mathcal L (V,F)</math>를 <math>V</math>의 쌍대 공간이라하고, 간단히 <math>V^*</math> 혹은 <math>V'</math>로 나타낸다.

== 쌍대 기저 ==
<math>e_1, e_2,\cdots ,e_n</math>을 기저로 가지는 유한 차원의 벡터 공간 <math>V</math>의 쌍대 공간 <math>V^*</math>는 <math>e^i(e_j) = \delta_{ij}</math>를 만족하는 기저 <math>e^1, e^2,\cdots ,e^n</math>를 가지는데, 이를 <math>V^*</math>의 쌍대 기저(dual basis)라고 한다. <math>V</math>와 <math>V^*</math>는 차원이 같고, 따라서 동형이다.

== 겹쌍대 공간 ==
<math>V^*</math>의 쌍대 공간을 '''겹쌍대 공간'''(double dual space)라 하고 <math>V^{**}</math>로 표시한다. <math>V^{**}</math>는 대입 사상 <math>f:v\mapsto \varphi_n(f)=f(n)</math>에 의해 <math>V</math>와 동형이다.

== 쌍대 공간과 겹선형 형식 ==
<math>V</math>는 <math>V^*</math>와도 동형이고 <math>V^{**}</math>와도 동형이다. 그런데 <math>V</math>과 <math>V^{**}</math> 사이에는 일반적인 동형 사상이 존재하지만(이를 자연스러운 동형이라고 한다), <math>V</math>와 <math>V^*</math>는 단순히 차원이 같아서 동형인 것이고, 일반적인 동형 사상이 존재하지 않는다. 이 때, <math>V</math>와 <math>V^*</math> 사이의 동형 사상을 정해주면, 그 동형 사상은 비퇴화 겹선형 형식이 되고, 반대로 임의의 비퇴화 겹선형 형식은 <math>V</math>와 <math>V^*</math> 사이의 동형 사상이라고 할 수 있다.

== 영상 ==
[youtube(D0EHzLiVfaY)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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벡터 공간의 선형 범함수들이 이루는 벡터 공간을 말한다.

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