쌍대 공간

최근 수정 시각 : 2025-01-11 22:23:50 | 조회수 : 48

dual space

벡터 공간의 선형 범함수들이 이루는 벡터 공간을 말한다.

목차

1. 정의
2. 쌍대 기저
3. 겹쌍대 공간
4. 쌍대 공간과 겹선형 형식
5. 영상

1. 정의

FF 상의 벡터 공간 VV에 대해 VV에서 FF로 가는 선형 변환을 V의 선형 범함수(linear functional)라고 하고, 이들의 집합 L(V,F)\mathcal L (V,F)은 벡터 공간을 이룬다. 이 때, L(V,F)\mathcal L (V,F)VV의 쌍대 공간이라하고, 간단히 VV^* 혹은 VV'로 나타낸다.

2. 쌍대 기저

e1,e2,,ene_1, e_2,\cdots ,e_n을 기저로 가지는 유한 차원의 벡터 공간 VV의 쌍대 공간 VV^*ei(ej)=δije^i(e_j) = \delta_{ij}를 만족하는 기저 e1,e2,,ene^1, e^2,\cdots ,e^n를 가지는데, 이를 VV^*의 쌍대 기저(dual basis)라고 한다. VVVV^*는 차원이 같고, 따라서 동형이다.

3. 겹쌍대 공간

VV^*의 쌍대 공간을 겹쌍대 공간(double dual space)라 하고 VV^{**}로 표시한다. VV^{**}는 대입 사상 f:vφn(f)=f(n)f:v\mapsto \varphi_n(f)=f(n)에 의해 VV와 동형이다.

4. 쌍대 공간과 겹선형 형식

VVVV^*와도 동형이고 VV^{**}와도 동형이다. 그런데 VVVV^{**} 사이에는 일반적인 동형 사상이 존재하지만(이를 자연스러운 동형이라고 한다), VVVV^*는 단순히 차원이 같아서 동형인 것이고, 일반적인 동형 사상이 존재하지 않는다. 이 때, VVVV^* 사이의 동형 사상을 정해주면, 그 동형 사상은 비퇴화 겹선형 형식이 되고, 반대로 임의의 비퇴화 겹선형 형식은 VVVV^* 사이의 동형 사상이라고 할 수 있다.

5. 영상



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