아론샤인 나무 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
집합론에서, 아론샤인 나무(Aronszajn tree)는 나무의 일종이다. ZFC에서 그 존재성이 보장되지 않는 [[수슬린 나무]]와는 달리 ZFC 내에서 그 존재성이 보장된다.

== 정의 ==
어느 나무 [math((T,\le))]가 아론샤인 나무란 것은 다음 세 조건을 만족하는 경우를 말한다.
* [math(T)]의 높이는 [math(\omega_1)]이다.
* [math(T)]의 가지의 길이는 기껏가산이다.
* 높이 [math(\alpha)]에 위치한 [math(T)]의 원소들은 기껏가산히 많다.

여기서 세 번째 조건을 '[math(T)]의 반사슬의 원소가 기껏가산히 많다'로 바꾸면 수슬린 나무의 정의가 얻어진다.

== 존재성 ==
ZFC만으로도 아론샤인 나무를 구성할 수 있다. 구성 절차는 다음과 같다.

가산서수를 정의역으로 하는 유리 증가수열들의 집합 [math(\Bbb{Q}^{<\omega_1})]을 고려하자. 두 수열간의 대소 관계는 포함관계로 준다. 그러면 [math((\Bbb{Q}^{<\omega_1},\subseteq))]는 나무가 된다. 하지만 이의 높이 [math(\omega)]인 원소들의 모임은 비가산이다. 따라서 적절한 구성을 통해 이의 갯수를 줄여줄 필요가 있다.

각 [math(\alpha)]에 대해 [math(T)]의 [math(\alpha)]번째 층 [math(T_\alpha)]를 다음과 같이 재귀적으로 정의할 것이다: [math(T_0=\{\varnothing\})]으로 두고, [math(T_\alpha)]가 주어졌을 때 [math(T_{\alpha+1})]을 위로 유계인 [math(s\in T_\alpha)]와 유리수 [math(q\ge\sup s)]에 대해 [math(s^\frown q)]꼴의 원소들의 집합이라 하자.

이제 [math(\alpha)]가 극한서수이고 각 [math(\beta<\alpha)]에 대해 [math(T_\beta)]가 주어졌다 하자. 우선 각 [math(T_\beta)]는 가산이고, 따라서 [math(\bigcup_{\beta<\alpha}T_\beta)]는 가산이다. 각 [math(s\in \bigcup_{\beta<\alpha}T_\beta)]와 유리수 [math(r>\sup s)]에 대해 [math(s\subset t)]이고 [math(\operatorname{dom} t=\alpha)], [math(\sup t\le r)]인 [math(t)]를 선택하자. 이제 [math(T_\alpha)]를 그러한 [math(t)]들의 집합으로 정의하자. 이제 [math(T=\bigcup_{\alpha<\omega_1}T_\alpha)]로 정의하면 [math(T)]는 아론샤인 나무이다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

(임시 저장) (임시 저장 불러오기)

(↪️) (💎) (🛠️) (추가)

여기서 세 번째 조건을 '[math(T)]의 반사슬의 원소가 기껏가산히 많다'로 바꾸면 수슬린 나무의 정의가 얻어진다.

== 존재성 ==
ZFC만으로도 아론샤인 나무를 구성할 수 있다. 구성 절차는 다음과 같다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

비로그인 상태입니다. 편집한 내용을 저장하면 지금 접속한 IP가 기록됩니다.

편집을 전송하면 당신은 이 문서의 기여자로서 본인이 작성한 내용이 CC BY 4.0에 따라 배포되고, 기여한 문서의 하이퍼링크나 URL로 저작자 표시가 충분하다는 것에 동의하는 것입니다.