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집합론에서, 아론샤인 나무(Aronszajn tree)는 나무의 일종이다. ZFC에서 그 존재성이 보장되지 않는 수슬린 나무와는 달리 ZFC 내에서 그 존재성이 보장된다.
1. 정의 ✎ ⊖
어느 나무 (T,\\le)가 아론샤인 나무란 것은 다음 세 조건을 만족하는 경우를 말한다.
여기서 세 번째 조건을 'T의 반사슬의 원소가 기껏가산히 많다'로 바꾸면 수슬린 나무의 정의가 얻어진다.
- T의 높이는 \\omega_1이다.
- T의 가지의 길이는 기껏가산이다.
- 높이 \\alpha에 위치한 T의 원소들은 기껏가산히 많다.
여기서 세 번째 조건을 'T의 반사슬의 원소가 기껏가산히 많다'로 바꾸면 수슬린 나무의 정의가 얻어진다.
2. 존재성 ✎ ⊖
ZFC만으로도 아론샤인 나무를 구성할 수 있다. 구성 절차는 다음과 같다.
가산서수를 정의역으로 하는 유리 증가수열들의 집합 \\Bbb{Q}^{<\\omega_1}을 고려하자. 두 수열간의 대소 관계는 포함관계로 준다. 그러면 (\\Bbb{Q}^{<\\omega_1},\\subseteq)는 나무가 된다. 하지만 이의 높이 \\omega인 원소들의 모임은 비가산이다. 따라서 적절한 구성을 통해 이의 갯수를 줄여줄 필요가 있다.
각 \\alpha에 대해 T의 \\alpha번째 층 T_\\alpha를 다음과 같이 재귀적으로 정의할 것이다: T_0=\\{\\varnothing\\}으로 두고, T_\\alpha가 주어졌을 때 T_{\\alpha+1}을 위로 유계인 s\\in T_\\alpha와 유리수 q\\ge\\sup s에 대해 s^\\frown q꼴의 원소들의 집합이라 하자.
이제 \\alpha가 극한서수이고 각 \\beta<\\alpha에 대해 T_\\beta가 주어졌다 하자. 우선 각 T_\\beta는 가산이고, 따라서 \\bigcup_{\\beta<\\alpha}T_\\beta는 가산이다. 각 s\\in \\bigcup_{\\beta<\\alpha}T_\\beta와 유리수 r>\\sup s에 대해 s\\subset t이고 \\operatorname{dom} t=\\alpha, \\sup t\\le r인 t를 선택하자. 이제 T_\\alpha를 그러한 t들의 집합으로 정의하자. 이제 T=\\bigcup_{\\alpha<\\omega_1}T_\\alpha로 정의하면 T는 아론샤인 나무이다.
가산서수를 정의역으로 하는 유리 증가수열들의 집합 \\Bbb{Q}^{<\\omega_1}을 고려하자. 두 수열간의 대소 관계는 포함관계로 준다. 그러면 (\\Bbb{Q}^{<\\omega_1},\\subseteq)는 나무가 된다. 하지만 이의 높이 \\omega인 원소들의 모임은 비가산이다. 따라서 적절한 구성을 통해 이의 갯수를 줄여줄 필요가 있다.
각 \\alpha에 대해 T의 \\alpha번째 층 T_\\alpha를 다음과 같이 재귀적으로 정의할 것이다: T_0=\\{\\varnothing\\}으로 두고, T_\\alpha가 주어졌을 때 T_{\\alpha+1}을 위로 유계인 s\\in T_\\alpha와 유리수 q\\ge\\sup s에 대해 s^\\frown q꼴의 원소들의 집합이라 하자.
이제 \\alpha가 극한서수이고 각 \\beta<\\alpha에 대해 T_\\beta가 주어졌다 하자. 우선 각 T_\\beta는 가산이고, 따라서 \\bigcup_{\\beta<\\alpha}T_\\beta는 가산이다. 각 s\\in \\bigcup_{\\beta<\\alpha}T_\\beta와 유리수 r>\\sup s에 대해 s\\subset t이고 \\operatorname{dom} t=\\alpha, \\sup t\\le r인 t를 선택하자. 이제 T_\\alpha를 그러한 t들의 집합으로 정의하자. 이제 T=\\bigcup_{\\alpha<\\omega_1}T_\\alpha로 정의하면 T는 아론샤인 나무이다.
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